5 单选（4分） 方程{}(x-sin y)dy+tan ydx=0y(1)=(pi)/(6)y+(3)/(4)

本题考查一阶线性微分方程的求解，核心思路是将原方程整理为标准形式后，利用积分因子法求解。关键在于：

1. 识别方程类型：将原方程改写为关于$\frac{dx}{dy}$的一阶线性方程；
2. 确定积分因子：通过计算$\mu(y) = \sin y$简化方程；
3. 应用初始条件：代入$y(1) = \frac{\pi}{6}$确定常数$C$，最终得到特解。

方程整理与标准形式

原方程$(x - \sin y)dy + \tan y \, dx = 0$可变形为：
$\frac{dx}{dy} + \frac{x \cos y}{\sin y} = \cos y$
此为一阶线性微分方程的标准形式$\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$，其中：

• $P(y) = \frac{\cos y}{\sin y}$
• $Q(y) = \cos y$

积分因子与通解

积分因子为：
$\mu(y) = \exp\left(\int \frac{\cos y}{\sin y} dy\right) = \sin y$
代入通解公式：
$x = \frac{1}{\sin y} \left( \int \cos y \sin y \, dy + C \right)$
计算积分$\int \cos y \sin y \, dy = \frac{1}{2} \sin^2 y + C$，得通解：
$x = \frac{1}{\sin y} \left( \frac{1}{2} \sin^2 y + C \right)$

应用初始条件

当$x=1$时，$y = \frac{\pi}{6}$，代入通解：
$1 = \frac{\frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^2 + C}{\frac{1}{2}} \implies C = \frac{3}{8}$
整理得：
$x \sin y = \frac{1}{2} \sin^2 y + \frac{3}{8}$
两边乘以2，得到特解：
$2x \sin y = \sin^2 y + \frac{3}{4}$