题目
甲袋中装有9个兵乓球,其中3个白球,6个黄-|||-球,乙袋中也装有9个兵乓球,5个白球,4个-|||-黄球。首先从甲袋中任选一球放入乙袋,再从-|||-乙袋中任取一球放入甲袋,则甲袋中白球数目-|||-不会发生变化的概率为[填空1](分数形式).
题目解答
答案
解析
考查要点：本题主要考查条件概率的应用，涉及分步操作下的概率计算，需要考虑不同情况对目标事件的影响。
解题核心思路：
甲袋白球数目不变，意味着两次操作后甲袋的白球数量与初始相同。需分两种情况讨论：
- 从甲袋取出黄球：此时乙袋黄球数增加，若从乙袋取回黄球，则甲袋白球数不变。
- 从甲袋取出白球：此时乙袋白球数增加，若从乙袋取回白球，则甲袋白球数不变。
分别计算这两种情况的概率并相加。
破题关键点：
- 明确目标事件：甲袋白球数不变。
- 分步分析：根据第一次操作的颜色，分情况讨论第二次操作的可能结果。
- 概率相乘与相加：独立事件概率相乘，互斥事件概率相加。
情况1：从甲袋取出黄球
- 概率计算：甲袋有6个黄球，取黄球的概率为 $\frac{6}{9} = \frac{2}{3}$。
- 乙袋变化：乙袋此时有10个球（5白5黄）。
- 取回黄球的概率：从乙袋取黄球的概率为 $\frac{5}{10} = \frac{1}{2}$。
- 总概率：$\frac{6}{9} \times \frac{5}{10} = \frac{30}{90} = \frac{1}{3}$。
情况2：从甲袋取出白球
- 概率计算：甲袋有3个白球，取白球的概率为 $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$。
- 乙袋变化：乙袋此时有10个球（6白4黄）。
- 取回白球的概率：从乙袋取白球的概率为 $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$。
- 总概率：$\frac{3}{9} \times \frac{6}{10} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$。
合并概率
两种互斥情况的概率相加：
$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{5}{15} + \frac{3}{15} = \frac{8}{15}.$