题目
讨论下列函数的连续性:-|||-^2+(y)^2neq 0,-|||-f(x,y)= ) (y)^2ln ((x)^2+(y)^2) 0,=0;
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析函数在 ${x}^{2}+{y}^{2}\neq 0$ 的点处的连续性
函数 $f(x,y)={y}^{2}\ln ({x}^{2}+{y}^{2})$ 是由基本初等函数构成的复合函数，且在 ${x}^{2}+{y}^{2}\neq 0$ 的点处有定义，因此在这些点处函数是连续的。
步骤 2：分析函数在点 (0,0) 处的连续性
为了判断函数在点 (0,0) 处的连续性，需要计算 $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$ 并与 $f(0,0)$ 比较。由于 $f(0,0)=0$，我们需要计算 $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}{y}^{2}\ln ({x}^{2}+{y}^{2})$。
步骤 3：计算 $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}{y}^{2}\ln ({x}^{2}+{y}^{2})$
为了计算这个极限，可以使用极坐标变换，令 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，则 ${x}^{2}+{y}^{2}={r}^{2}$。因此，$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}{y}^{2}\ln ({x}^{2}+{y}^{2})=\lim _{r\rightarrow 0}{r}^{2}{\sin }^{2}\theta \ln {r}^{2}$。由于 ${\sin }^{2}\theta$ 有界，且 $\lim _{r\rightarrow 0}{r}^{2}\ln {r}^{2}=0$，因此 $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}{y}^{2}\ln ({x}^{2}+{y}^{2})=0$。
步骤 4：判断函数在点 (0,0) 处的连续性
由于 $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}{y}^{2}\ln ({x}^{2}+{y}^{2})=0=f(0,0)$，因此函数在点 (0,0) 处连续。
函数 $f(x,y)={y}^{2}\ln ({x}^{2}+{y}^{2})$ 是由基本初等函数构成的复合函数，且在 ${x}^{2}+{y}^{2}\neq 0$ 的点处有定义，因此在这些点处函数是连续的。
步骤 2：分析函数在点 (0,0) 处的连续性
为了判断函数在点 (0,0) 处的连续性，需要计算 $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$ 并与 $f(0,0)$ 比较。由于 $f(0,0)=0$，我们需要计算 $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}{y}^{2}\ln ({x}^{2}+{y}^{2})$。
步骤 3：计算 $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}{y}^{2}\ln ({x}^{2}+{y}^{2})$
为了计算这个极限，可以使用极坐标变换，令 $x=r\cos \theta$，$y=r\sin \theta$，则 ${x}^{2}+{y}^{2}={r}^{2}$。因此，$\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}{y}^{2}\ln ({x}^{2}+{y}^{2})=\lim _{r\rightarrow 0}{r}^{2}{\sin }^{2}\theta \ln {r}^{2}$。由于 ${\sin }^{2}\theta$ 有界，且 $\lim _{r\rightarrow 0}{r}^{2}\ln {r}^{2}=0$，因此 $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}{y}^{2}\ln ({x}^{2}+{y}^{2})=0$。
步骤 4：判断函数在点 (0,0) 处的连续性
由于 $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}{y}^{2}\ln ({x}^{2}+{y}^{2})=0=f(0,0)$，因此函数在点 (0,0) 处连续。