讨论下列函数的连续性:-|||-^2+(y)^2neq 0,-|||-f(x,y)= ) (y)^2ln ((x)^2+(y)^2) 0,=0;

考查要点：本题主要考查二元函数的连续性判断，特别是分段函数在分段点（原点）处的连续性。

解题核心思路：

1. 非原点处的连续性：利用初等函数在其定义域内的连续性直接判断。
2. 原点处的连续性：通过极限计算验证当$(x,y) \to (0,0)$时，$f(x,y)$的极限是否等于$f(0,0)=0$。关键点在于构造不等式并应用夹逼定理。

破题关键：

• 初等函数的连续性：非原点处函数由初等函数构成，直接连续。
• 极限估计：通过不等式$y^2 \ln(x^2+y^2) \leq (x^2+y^2)|\ln(x^2+y^2)|$，结合变量代换$u = x^2+y^2$，将二重极限转化为一元极限$\lim_{u \to 0^+} u \ln u = 0$。

非原点处的连续性

当$x^2 + y^2 \neq 0$时，函数$f(x,y) = y^2 \ln(x^2 + y^2)$由多项式函数$y^2$和自然对数函数$\ln(x^2 + y^2)$组成，均为初等函数且在定义域内连续。因此，$f(x,y)$在$x^2 + y^2 \neq 0$的所有点处连续。

原点处的连续性

需验证$\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = f(0,0) = 0$。

构造不等式

注意到$y^2 \leq x^2 + y^2$，因此：
$|y^2 \ln(x^2 + y^2)| \leq (x^2 + y^2) |\ln(x^2 + y^2)|.$

变量代换

令$u = x^2 + y^2$，当$(x,y) \to (0,0)$时，$u \to 0^+$。此时极限转化为：
$\lim_{u \to 0^+} u \ln u.$

计算一元极限

利用洛必达法则：
$\lim_{u \to 0^+} u \ln u = \lim_{u \to 0^+} \frac{\ln u}{\frac{1}{u}} = \lim_{u \to 0^+} \frac{\frac{1}{u}}{-\frac{1}{u^2}} = \lim_{u \to 0^+} (-u) = 0.$

应用夹逼定理

由不等式$|y^2 \ln(x^2 + y^2)| \leq (x^2 + y^2) |\ln(x^2 + y^2)|$及极限结果，得：
$\lim_{(x,y) \to (0,0)} y^2 \ln(x^2 + y^2) = 0 = f(0,0).$
因此，$f(x,y)$在原点处连续。