题目
已知甲袋中装有3只红球，2只白球，乙袋中装有 6 只红球4只白球，丙袋中装有 2 只红球 ，8只白球，随机地取一只袋子 ，再从该袋中随机地取一只球，求该球是红球的概率。
已知甲袋中装有3只红球，2只白球，乙袋中装有 6 只红球4只白球，丙袋中装有 2 只红球 ，8只白球，随机地取一只袋子 ，再从该袋中随机地取一只球，求该球是红球的概率。
题目解答
答案
记事件
“取出的球为红球”，事件
"该球来自甲袋",事件
“该球来自乙袋”，事件
“该球来自丙袋”，则由题意得
则根据全概率公式可知
故答案为
。
解析
步骤 1：定义事件
定义事件$B$为“取出的球为红球”，事件${A}_{1}$为“该球来自甲袋”，事件${A}_{2}$为“该球来自乙袋”，事件${A}_{3}$为“该球来自丙袋”。
步骤 2：计算各事件的概率
根据题意，$P({A}_{1})=P({A}_{2})=P({A}_{3})=\dfrac {1}{3}$，因为随机地取一只袋子，所以每个袋子被选中的概率相等。
$P(B|{A}_{1})=\dfrac {3}{5}$，因为甲袋中有3只红球和2只白球，所以从甲袋中取出红球的概率为$\dfrac {3}{5}$。
$P(B|{A}_{2})=\dfrac {6}{10}=\dfrac {3}{5}$，因为乙袋中有6只红球和4只白球，所以从乙袋中取出红球的概率为$\dfrac {6}{10}=\dfrac {3}{5}$。
$P(B|{A}_{3})=\dfrac {2}{10}=\dfrac {1}{5}$，因为丙袋中有2只红球和8只白球，所以从丙袋中取出红球的概率为$\dfrac {2}{10}=\dfrac {1}{5}$。
步骤 3：应用全概率公式
根据全概率公式，$P(B)=P({A}_{1})P(B|{A}_{1})+P({A}_{2})P(B|{A}_{2})+P({A}_{3})P(B|{A}_{3})$。
代入已知概率，$P(B)=\dfrac {1}{3}\times \dfrac {3}{5}+\dfrac {1}{3}\times \dfrac {3}{5}+\dfrac {1}{3}\times \dfrac {1}{5}=\dfrac {7}{15}$。
定义事件$B$为“取出的球为红球”，事件${A}_{1}$为“该球来自甲袋”，事件${A}_{2}$为“该球来自乙袋”，事件${A}_{3}$为“该球来自丙袋”。
步骤 2：计算各事件的概率
根据题意，$P({A}_{1})=P({A}_{2})=P({A}_{3})=\dfrac {1}{3}$，因为随机地取一只袋子，所以每个袋子被选中的概率相等。
$P(B|{A}_{1})=\dfrac {3}{5}$，因为甲袋中有3只红球和2只白球，所以从甲袋中取出红球的概率为$\dfrac {3}{5}$。
$P(B|{A}_{2})=\dfrac {6}{10}=\dfrac {3}{5}$，因为乙袋中有6只红球和4只白球，所以从乙袋中取出红球的概率为$\dfrac {6}{10}=\dfrac {3}{5}$。
$P(B|{A}_{3})=\dfrac {2}{10}=\dfrac {1}{5}$，因为丙袋中有2只红球和8只白球，所以从丙袋中取出红球的概率为$\dfrac {2}{10}=\dfrac {1}{5}$。
步骤 3：应用全概率公式
根据全概率公式，$P(B)=P({A}_{1})P(B|{A}_{1})+P({A}_{2})P(B|{A}_{2})+P({A}_{3})P(B|{A}_{3})$。
代入已知概率，$P(B)=\dfrac {1}{3}\times \dfrac {3}{5}+\dfrac {1}{3}\times \dfrac {3}{5}+\dfrac {1}{3}\times \dfrac {1}{5}=\dfrac {7}{15}$。