题目
2.设直线 :dfrac (x-1)(1)=dfrac (y)(1)=dfrac (z-1)(-1) 及π -y+2z-1=0.-|||-(1)求直线L在平面π上的投影直线L0;-|||-(2)求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求直线L在平面π上的投影直线L0
- 首先，将直线L的参数方程表示出来。设直线L的参数方程为 $x = t + 1$, $y = t$, $z = -t + 1$，其中t为参数。
- 然后，求出直线L的方向向量 $\vec{d} = (1, 1, -1)$。
- 接着，求出平面π的法向量 $\vec{n} = (1, -1, 2)$。
- 通过向量积求出过直线L且垂直于平面π的平面的法向量 $\vec{n_1} = \vec{d} \times \vec{n} = (1, -3, -2)$。
- 由此，过直线L且垂直于平面π的平面方程为 $x - 3y - 2z + 1 = 0$。
- 最后，直线L在平面π上的投影直线L0为两个平面的交线，即 $\left \{ \begin{matrix} x-y+2z-1=0\\ x-3y-2z+1=0\end{matrix} \right.$。
步骤 2：求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程
- 设M(x,y,z)为所求旋转曲面∑上任意一点，过该点作垂直于y轴的平面，该平面与∑相交于一个圆，且该平面与直线L及y轴的交点分别为M0(x0,y,z0)及T(0,y,0)。
- 由 $|{M}_{0}T|=|MT|$，得 ${{x}_{0}}^{2}+{{z}_{0}}^{2}={x}^{2}+{z}^{2}$。
- 注意到 ${M}_{0}({x}_{0},y,{z}_{0})\in L$，即 $\dfrac {{x}_{0}-1}{1}=\dfrac {y}{1}=$ $\dfrac {{z}_{0}-1}{-1}$，于是 ${x}_{0}=y+1$。
- 将其代入上式得 ∑ $:{x}^{2}+{z}^{2}={(y+1)}^{2}+{(1-y)}^{2}$，即 $\sum :{x}^{2}-2{y}^{2}+{z}^{2}=2$。
- 首先，将直线L的参数方程表示出来。设直线L的参数方程为 $x = t + 1$, $y = t$, $z = -t + 1$，其中t为参数。
- 然后，求出直线L的方向向量 $\vec{d} = (1, 1, -1)$。
- 接着，求出平面π的法向量 $\vec{n} = (1, -1, 2)$。
- 通过向量积求出过直线L且垂直于平面π的平面的法向量 $\vec{n_1} = \vec{d} \times \vec{n} = (1, -3, -2)$。
- 由此，过直线L且垂直于平面π的平面方程为 $x - 3y - 2z + 1 = 0$。
- 最后，直线L在平面π上的投影直线L0为两个平面的交线，即 $\left \{ \begin{matrix} x-y+2z-1=0\\ x-3y-2z+1=0\end{matrix} \right.$。
步骤 2：求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程
- 设M(x,y,z)为所求旋转曲面∑上任意一点，过该点作垂直于y轴的平面，该平面与∑相交于一个圆，且该平面与直线L及y轴的交点分别为M0(x0,y,z0)及T(0,y,0)。
- 由 $|{M}_{0}T|=|MT|$，得 ${{x}_{0}}^{2}+{{z}_{0}}^{2}={x}^{2}+{z}^{2}$。
- 注意到 ${M}_{0}({x}_{0},y,{z}_{0})\in L$，即 $\dfrac {{x}_{0}-1}{1}=\dfrac {y}{1}=$ $\dfrac {{z}_{0}-1}{-1}$，于是 ${x}_{0}=y+1$。
- 将其代入上式得 ∑ $:{x}^{2}+{z}^{2}={(y+1)}^{2}+{(1-y)}^{2}$，即 $\sum :{x}^{2}-2{y}^{2}+{z}^{2}=2$。