题目
(5) lim _(xarrow 0)dfrac ({x)^2cos dfrac (1)(x)}(sin x) ,
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析函数的极限
我们首先观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\cos \dfrac {1}{x}}{\sin x}$。注意到当 $x$ 接近 $0$ 时，$\sin x$ 也接近 $0$，而 $\cos \dfrac {1}{x}$ 的值在 $[-1, 1]$ 之间波动，因此我们需要仔细分析这个表达式。
步骤 2：利用三角函数的性质
我们知道 $\sin x$ 在 $x$ 接近 $0$ 时可以近似为 $x$，即 $\sin x \approx x$。因此，我们可以将原极限表达式中的 $\sin x$ 替换为 $x$，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\cos \dfrac {1}{x}}{x}$。
步骤 3：简化表达式
将表达式简化为 $\lim _{x\rightarrow 0}x\cos \dfrac {1}{x}$。由于 $\cos \dfrac {1}{x}$ 的值在 $[-1, 1]$ 之间波动，而 $x$ 接近 $0$ 时，$x$ 的值也接近 $0$，因此整个表达式的值将接近 $0$。
我们首先观察给定的极限表达式 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\cos \dfrac {1}{x}}{\sin x}$。注意到当 $x$ 接近 $0$ 时，$\sin x$ 也接近 $0$，而 $\cos \dfrac {1}{x}$ 的值在 $[-1, 1]$ 之间波动，因此我们需要仔细分析这个表达式。
步骤 2：利用三角函数的性质
我们知道 $\sin x$ 在 $x$ 接近 $0$ 时可以近似为 $x$，即 $\sin x \approx x$。因此，我们可以将原极限表达式中的 $\sin x$ 替换为 $x$，得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {{x}^{2}\cos \dfrac {1}{x}}{x}$。
步骤 3：简化表达式
将表达式简化为 $\lim _{x\rightarrow 0}x\cos \dfrac {1}{x}$。由于 $\cos \dfrac {1}{x}$ 的值在 $[-1, 1]$ 之间波动，而 $x$ 接近 $0$ 时，$x$ 的值也接近 $0$，因此整个表达式的值将接近 $0$。