题目
计算二重积分iint_(D)xydxdy，其中D由曲线y=1，x=2及y=x围成(). A. (9)/(8)B. (1)/(8)C. (7)/(8)D. (5)/(8)
计算二重积分$\iint_{D}xydxdy$，其中$D$由曲线$y=1$，$x=2$及$y=x$围成().
- A. $\frac{9}{8}$
- B. $\frac{1}{8}$
- C. $\frac{7}{8}$
- D. $\frac{5}{8}$
题目解答
答案
积分区域 $D$ 由 $y=1$，$x=2$，$y=x$ 围成，可表示为 $1 \leq x \leq 2$，$1 \leq y \leq x$。将二重积分转换为累次积分：
\[
\iint\limits_{D} xy \, dx \, dy = \int_{1}^{2} \int_{1}^{x} xy \, dy \, dx
\]
先对 $y$ 积分：
\[
\int_{1}^{x} xy \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{x} = x \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{x^3 - x}{2}
\]
再对 $x$ 积分：
\[
\int_{1}^{2} \frac{x^3 - x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} (x^3 - x) \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2} \left( 2 - \left( -\frac{1}{4} \right) \right) = \frac{9}{8}
\]
答案：$\boxed{A}$。
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域 $D$ 由 $y=1$，$x=2$，$y=x$ 围成，可表示为 $1 \leq x \leq 2$，$1 \leq y \leq x$。
步骤 2：转换为累次积分
将二重积分转换为累次积分： \[ \iint\limits_{D} xy \, dx \, dy = \int_{1}^{2} \int_{1}^{x} xy \, dy \, dx \]
步骤 3：先对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分： \[ \int_{1}^{x} xy \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{x} = x \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{x^3 - x}{2} \]
步骤 4：再对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分： \[ \int_{1}^{2} \frac{x^3 - x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} (x^3 - x) \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2} \left( 2 - \left( -\frac{1}{4} \right) \right) = \frac{9}{8} \]
积分区域 $D$ 由 $y=1$，$x=2$，$y=x$ 围成，可表示为 $1 \leq x \leq 2$，$1 \leq y \leq x$。
步骤 2：转换为累次积分
将二重积分转换为累次积分： \[ \iint\limits_{D} xy \, dx \, dy = \int_{1}^{2} \int_{1}^{x} xy \, dy \, dx \]
步骤 3：先对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分： \[ \int_{1}^{x} xy \, dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{x} = x \left( \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \right) = \frac{x^3 - x}{2} \]
步骤 4：再对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分： \[ \int_{1}^{2} \frac{x^3 - x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} (x^3 - x) \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{1}{2} \left( 2 - \left( -\frac{1}{4} \right) \right) = \frac{9}{8} \]