题目
计算不定积分int (e)^x((3)^x+dfrac ({e)^-x}({sin )^2x})dx-|||-__.
计算不定积分
.
题目解答
答案
由题意可得
，C为任意常数.
故答案为：
解析
步骤 1：将原积分拆分为两个积分
原积分可以拆分为两个积分，即$\int {e}^{x}{3}^{x}dx$和$\int \dfrac {{e}^{-x}}{{\sin }^{2}x}dx$。
步骤 2：计算第一个积分$\int {e}^{x}{3}^{x}dx$
将${e}^{x}{3}^{x}$写为${(3e)}^{x}$，然后使用积分公式$\int {a}^{x}dx=\dfrac {{a}^{x}}{\ln a}+C$，其中$a=3e$，得到$\int {(3e)}^{x}dx=\dfrac {{(3e)}^{x}}{\ln 3e}+C$。
步骤 3：计算第二个积分$\int \dfrac {{e}^{-x}}{{\sin }^{2}x}dx$
将$\dfrac {{e}^{-x}}{{\sin }^{2}x}$写为$\dfrac {1}{{e}^{x}{\sin }^{2}x}$，然后使用积分公式$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$，得到$\int \dfrac {1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$。
步骤 4：将两个积分的结果相加
将步骤2和步骤3的结果相加，得到$\int {e}^{x}({3}^{x}+\dfrac {{e}^{-x}}{{\sin }^{2}x})dx=\dfrac {{(3e)}^{x}}{\ln 3e}-\cot x+C$，其中C为任意常数。
原积分可以拆分为两个积分，即$\int {e}^{x}{3}^{x}dx$和$\int \dfrac {{e}^{-x}}{{\sin }^{2}x}dx$。
步骤 2：计算第一个积分$\int {e}^{x}{3}^{x}dx$
将${e}^{x}{3}^{x}$写为${(3e)}^{x}$，然后使用积分公式$\int {a}^{x}dx=\dfrac {{a}^{x}}{\ln a}+C$，其中$a=3e$，得到$\int {(3e)}^{x}dx=\dfrac {{(3e)}^{x}}{\ln 3e}+C$。
步骤 3：计算第二个积分$\int \dfrac {{e}^{-x}}{{\sin }^{2}x}dx$
将$\dfrac {{e}^{-x}}{{\sin }^{2}x}$写为$\dfrac {1}{{e}^{x}{\sin }^{2}x}$，然后使用积分公式$\int {\csc }^{2}xdx=-\cot x+C$，得到$\int \dfrac {1}{{\sin }^{2}x}dx=-\cot x+C$。
步骤 4：将两个积分的结果相加
将步骤2和步骤3的结果相加，得到$\int {e}^{x}({3}^{x}+\dfrac {{e}^{-x}}{{\sin }^{2}x})dx=\dfrac {{(3e)}^{x}}{\ln 3e}-\cot x+C$，其中C为任意常数。