题目

注 类似地，设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，则lim_(ntoinfty)[(nint_(a)^frac(1)/(n)f(x)dx)(f(a))]^n=_.

注 类似地，设f(x)在x=a处可导，且f(a)≠0，则 $\lim_{n\to\infty}\left[\frac{n\int_{a}^{\frac{1}{n}}f(x)dx}{f(a)}\right]^{n}=\_.$

题目解答

答案

设 $ f(x) $ 在 $ x = a $ 处可导，且 $ f(a) \neq 0 $。考虑极限 \[ \lim_{n \to \infty} \left[ \frac{n \int_a^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx}{f(a)} \right]^n. \] 由泰勒展开，$ f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + O((x - a)^2) $。积分得 \[ \int_a^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx = \int_a^{a + \frac{1}{n}} \left[ f(a) + f'(a)(x - a) + O((x - a)^2) \right] \, dx. \] 计算得 \[ \int_a^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx = \frac{f(a)}{n} + \frac{f'(a)}{2n^2} + O\left(\frac{1}{n^3}\right). \] 代入原式，有 \[ \frac{n \int_a^{a + \frac{1}{n}} f(x) \, dx}{f(a)} = 1 + \frac{f'(a)}{2f(a)n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right). \] 取极限得 \[ \lim_{n \to \infty} \left[ 1 + \frac{f'(a)}{2f(a)n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right]^n = e^{\frac{f'(a)}{2f(a)}}. \] **答案：** $\boxed{e^{\frac{f'(a)}{2f(a)}}}$

解析

考查要点：本题主要考查定积分与极限的结合应用，涉及泰勒展开和极限公式的运用。关键在于处理积分区间趋近于0时的近似展开。

解题思路：

  1. 积分区间调整：题目中积分上限应为$a + \frac{1}{n}$（原题可能存在笔误），确保积分区间长度为$\frac{1}{n}$。
  2. 泰勒展开：利用$f(x)$在$x=a$处的可导性，展开$f(x)$为$f(a) + f'(a)(x-a) + O((x-a)^2)$。
  3. 积分近似：将展开式代入积分，保留到二次项，忽略高阶小项。
  4. 化简表达式：将积分结果代入原式，利用极限公式$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{c}{n}\right)^n = e^c$求解。

步骤1：调整积分区间

假设积分上限为$a + \frac{1}{n}$，积分区间长度为$\frac{1}{n}$，此时积分有意义。

步骤2：泰勒展开

将$f(x)$在$x=a$处展开：
$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + O((x-a)^2).$

步骤3：积分近似

计算积分：
$\begin{aligned}\int_{a}^{a+\frac{1}{n}} f(x) \, dx &= \int_{a}^{a+\frac{1}{n}} \left[ f(a) + f'(a)(x-a) + O((x-a)^2) \right] dx \\&= f(a) \cdot \frac{1}{n} + \frac{f'(a)}{2} \cdot \left(\frac{1}{n}\right)^2 + O\left(\frac{1}{n^3}\right).\end{aligned}$

步骤4：代入原式

将积分结果代入原式：
$\frac{n \int_{a}^{a+\frac{1}{n}} f(x) \, dx}{f(a)} = 1 + \frac{f'(a)}{2f(a) \cdot n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right).$

步骤5：求极限

利用极限公式：
$\lim_{n \to \infty} \left[1 + \frac{f'(a)}{2f(a) \cdot n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)\right]^n = e^{\frac{f'(a)}{2f(a)}}.$