题目
进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为p,失败的概率为-|||-=1-p(0lt plt 1).-|||-(1)将试验进行到出现一次成功为止,以X表-|||-示所需的试验次数,求X的分布律.(此时称X服-|||-从以p为参数的几何分布.)-|||-(2)将试验进行到出现r次成功为止,以Y表示所需的试验次数,求Y的分-|||-布律.(此时称Y服从以r,p为参数的巴斯卡分布或负二项分布.)-|||-(3)一篮球运动员的投篮命中率为45%.以X表示他首次投中时累计已投-|||-篮的次数,写出X的分布律,并计算X取偶数的概率.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求X的分布律
在进行重复独立试验时，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数。由于每次试验是独立的，因此X的分布律为几何分布。对于k次试验，前k-1次失败，第k次成功，因此分布律为$P\{ X=k\} ={q}^{k-1}p={(1-p)}^{k-1}p$，k=1,2,3,...
步骤 2：求Y的分布律
将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数。由于每次试验是独立的，因此Y的分布律为巴斯卡分布或负二项分布。对于k次试验，前k-1次中有r-1次成功，第k次成功，因此分布律为$P\{ Y=k\} =\binom{k-1}{r-1}p^rq^{k-r}=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}$，k=r,r+1,...
步骤 3：求X取偶数的概率
对于篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数。X的分布律为$P\{ X=k\} =0.45{(0.55)}^{k-1}$，k=1,2,...。由于X取偶数的概率为$P\{ X=2k\}$，k=1,2,...，因此X取偶数的概率为$\sum _{k=1}^{\infty }P\{ X=2k\} =\sum _{k=1}^{\infty }0.45{(0.55)}^{2k-1}=\dfrac {0.45\times 0.55}{1-{0.55}^{2}}=\dfrac {11}{31}$。
在进行重复独立试验时，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数。由于每次试验是独立的，因此X的分布律为几何分布。对于k次试验，前k-1次失败，第k次成功，因此分布律为$P\{ X=k\} ={q}^{k-1}p={(1-p)}^{k-1}p$，k=1,2,3,...
步骤 2：求Y的分布律
将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数。由于每次试验是独立的，因此Y的分布律为巴斯卡分布或负二项分布。对于k次试验，前k-1次中有r-1次成功，第k次成功，因此分布律为$P\{ Y=k\} =\binom{k-1}{r-1}p^rq^{k-r}=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r}$，k=r,r+1,...
步骤 3：求X取偶数的概率
对于篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数。X的分布律为$P\{ X=k\} =0.45{(0.55)}^{k-1}$，k=1,2,...。由于X取偶数的概率为$P\{ X=2k\}$，k=1,2,...，因此X取偶数的概率为$\sum _{k=1}^{\infty }P\{ X=2k\} =\sum _{k=1}^{\infty }0.45{(0.55)}^{2k-1}=\dfrac {0.45\times 0.55}{1-{0.55}^{2}}=\dfrac {11}{31}$。