题目

过 (0,1) 点作曲线 L:y=lnx 的切线，切点为 A ，又 L 与 x 轴交于 B 点，区域 D 由 L 与直线 AB 围成，求区域 D 的面积及 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积。

题目解答

答案

设切点为 A(x0,lnx0), 则切线的斜率为： y′|x=x0=1x0 ，

从而切线方程为： y−lnx0=1x0(x−x0) ，

又切线过点 (0,1), 代入切线方程得： x0=e2 ，

所以：切线方程为： y=e−2x+1 ，

则： L 与 x 轴交点 B 为： (−e2,0) ，

∴ 直线 AB 的方程为： x−e2y+e2=0 ，

又区域 D 由 L:y=lnx 与直线 AB 围成，

从而：以 y 为积分变量 , 得区域 D 的面积： SD=∫20[ey−e2(y−1)]dy=[ey−e2(12y2−y)]20=e2−1，

将 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 , 看成线段 AB 与 x=2 、 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积 , 减去曲线 L 在 1⩽x⩽e2 这一段与与 x=2 、 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积，

从而：

V=13π⋅22⋅(e2−(−e2))−π∫e2 1ln2xdx=83πe2−π[(xln2x)∣∣e21−∫e212lnxdx]

=83πe2−π[4e2−(2xlnx)∣∣e21+∫e212dx]=23π(e2+3).

解析

步骤 1：确定切点
设切点为 A(x0,lnx0)，则切线的斜率为：y′|x=x0=1/x0。从而切线方程为：y−lnx0=1/x0(x−x0)。又切线过点 (0,1)，代入切线方程得：x0=e^2。所以切线方程为：y=e^(-2)x+1。

步骤 2：确定交点
L 与 x 轴交点 B 为：(−e^2,0)。直线 AB 的方程为：x−e^2y+e^2=0。

步骤 3：计算区域 D 的面积
区域 D 由 L:y=lnx 与直线 AB 围成，以 y 为积分变量，得区域 D 的面积：SD=∫20[ey−e2(y−1)]dy=[ey−e2(12y2−y)]20=e2−1。

步骤 4：计算旋转体的体积
将 D 绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积，看成线段 AB 与 x=2 、 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积，减去曲线 L 在 1⩽x⩽e^2 这一段与与 x=2 、 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积。从而：V=13π⋅22⋅(e^2−(−e^2))−π∫e^2 1ln^2xdx=83πe^2−π[(xln^2x)∣∣e^21−∫e^212lnxdx]=83πe^2−π[4e^2−(2xlnx)∣∣e^21+∫e^212dx]=23π(e^2+3)。