若随机变量X服从参数为lambda =1的泊松分布，则必有（ ）.A.lambda =1B.lambda =1C.lambda =1D.lambda =1

泊松分布的概率质量函数为$P(X=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$，其中$\lambda$是参数，$k=0,1,2,\dots$。本题中$\lambda=1$，因此：

• 关键点1：计算$P(X=0)$时，代入公式得$P(X=0)=e^{-1}$，说明选项A、B错误。
• 关键点2：计算$P(X \leqslant 1)$时，需累加$P(X=0)$和$P(X=1)$，结果为$2e^{-1}$，说明选项C错误。
• 关键点3：分布函数$F(0)=P(X \leqslant 0)=P(X=0)=e^{-1}$，选项D正确。

选项分析

选项A和B

根据泊松分布公式：
$P(X=0)=\dfrac{1^0}{0!}e^{-1}=e^{-1} \neq 0 \quad \text{且} \quad e^{-1} \neq 1$
因此选项A、B均错误。

选项C

计算$P(X \leqslant 1)$：
$\begin{aligned}P(X \leqslant 1) &= P(X=0) + P(X=1) \\&= \dfrac{1^0}{0!}e^{-1} + \dfrac{1^1}{1!}e^{-1} \\&= e^{-1} + e^{-1} = 2e^{-1} \neq 3e^{-1}\end{aligned}$
因此选项C错误。

选项D

分布函数$F(0)=P(X \leqslant 0)=P(X=0)=e^{-1}$，与选项D一致，选项D正确。