题目
求过点A (1,2,1)且垂直于平面 _(1):x-y+2z+3=0 与平面 _(2):2x-y-2z+4=0的平面方程.
求过点A (1,2,1)且垂直于
的平面方程.
题目解答
答案
根据题意，可解：
法向量为（1，-1，2）
法向量为（2，-1，-2）
∵过点A (1,2,1)且垂直于的平面方程.
∴该平面方程法向量
∴平面方程为
∴
故本题答案为
解析
步骤 1：确定平面 ${T}_{1}$ 和 ${T}_{2}$ 的法向量
平面 ${T}_{1}:x-y+2z+3=0$ 的法向量为 $\vec{n_1}=(1,-1,2)$
平面 ${T}_{2}:2x-y-2z+4=0$ 的法向量为 $\vec{n_2}=(2,-1,-2)$
步骤 2：计算两个法向量的叉积
过点A (1,2,1)且垂直于平面 ${T}_{1}$ 与平面 ${T}_{2}$ 的平面方程的法向量为 $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$
$\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = (4,6,1)$
步骤 3：利用点法式方程求解平面方程
已知平面的法向量为 $(4,6,1)$，且过点A (1,2,1)，则平面方程为
$4(x-1)+6(y-2)+1(z-1)=0$
化简得 $4x+6y+z-17=0$
平面 ${T}_{1}:x-y+2z+3=0$ 的法向量为 $\vec{n_1}=(1,-1,2)$
平面 ${T}_{2}:2x-y-2z+4=0$ 的法向量为 $\vec{n_2}=(2,-1,-2)$
步骤 2：计算两个法向量的叉积
过点A (1,2,1)且垂直于平面 ${T}_{1}$ 与平面 ${T}_{2}$ 的平面方程的法向量为 $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$
$\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = (4,6,1)$
步骤 3：利用点法式方程求解平面方程
已知平面的法向量为 $(4,6,1)$，且过点A (1,2,1)，则平面方程为
$4(x-1)+6(y-2)+1(z-1)=0$
化简得 $4x+6y+z-17=0$