题目

3.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a)，则x=（）

3.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a)，则x=（）

题目解答

答案

已知向量 $\mathbf{a} = (0, 1)$ 和 $\mathbf{b} = (2, x)$，计算 $\mathbf{b} - 4\mathbf{a} = (2, x - 4)$。由垂直条件得点积为零： \[ \mathbf{b} \cdot (\mathbf{b} - 4\mathbf{a}) = 2 \cdot 2 + x \cdot (x - 4) = 4 + x^2 - 4x = 0. \] 整理得二次方程： \[ x^2 - 4x + 4 = 0 \implies (x - 2)^2 = 0 \implies x = 2. \] 或利用向量点积性质： \[ $\mathbf{b}$^2 = 4\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} \implies 4 + x^2 = 4x \implies x^2 - 4x + 4 = 0 \implies x = 2. \] 答案：$\boxed{2}$

解析

考查要点：本题主要考查向量垂直的条件及向量的坐标运算。
解题思路：

  1. 向量垂直的条件是它们的点积为零，这是解题的核心。
  2. 需要先计算向量 $\mathbf{b} - 4\mathbf{a}$ 的坐标，再利用点积公式建立方程。
  3. 通过解二次方程求得 $x$ 的值。

关键点：

  • 正确进行向量减法运算，注意分量的对应相减。
  • 点积公式的准确应用，确保代数运算无误。

  1. 计算向量 $\mathbf{b} - 4\mathbf{a}$
    已知 $\mathbf{a} = (0, 1)$，则 $4\mathbf{a} = (0 \times 4, 1 \times 4) = (0, 4)$。
    因此，$\mathbf{b} - 4\mathbf{a} = (2, x) - (0, 4) = (2 - 0, x - 4) = (2, x - 4)$。

  2. 根据垂直条件列方程
    向量 $\mathbf{b}$ 与 $\mathbf{b} - 4\mathbf{a}$ 垂直，故它们的点积为零：
    $\mathbf{b} \cdot (\mathbf{b} - 4\mathbf{a}) = 2 \cdot 2 + x \cdot (x - 4) = 0$
    展开并整理方程：
    $4 + x^2 - 4x = 0 \implies x^2 - 4x + 4 = 0$

  3. 解二次方程
    方程 $x^2 - 4x + 4 = 0$ 可因式分解为：
    $(x - 2)^2 = 0 \implies x = 2$