题目
选用适当的坐标计算下列各题:-|||-iint dfrac ({x)^2}({y)^2}dsigma , 其中D是直线 x=2 =x 及曲线 xy=1 所围成的闭区域;
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
根据题目描述，积分区域D由直线x=2，y=x和曲线xy=1围成。首先，确定积分区域的边界。直线x=2和y=x在第一象限内相交于点(2,2)。曲线xy=1在第一象限内与直线y=x相交于点(1,1)。因此，积分区域D在x轴上的范围是1到2，y轴上的范围是1/x到x。
步骤 2：设置积分
根据步骤1的分析，积分区域D可以表示为$1\leqslant x\leqslant 2$，$\dfrac {1}{x}\leqslant y\leqslant x$。因此，原积分可以表示为$\iint \dfrac {{x}^{2}}{{y}^{2}}d\sigma ={\int }_{1}^{2}{x}^{2}dx{\int }_{\dfrac {1}{x}}^{x}\dfrac {1}{{y}^{2}}dy$。
步骤 3：计算积分
首先计算内层积分${\int }_{\dfrac {1}{x}}^{x}\dfrac {1}{{y}^{2}}dy$。根据积分公式，$\int \dfrac {1}{{y}^{2}}dy = -\dfrac {1}{y} + C$。因此，${\int }_{\dfrac {1}{x}}^{x}\dfrac {1}{{y}^{2}}dy = -\dfrac {1}{x} + x$。然后计算外层积分${\int }_{1}^{2}(-x+{x}^{3})dx$。根据积分公式，$\int (-x+{x}^{3})dx = -\dfrac {1}{2}x^2 + \dfrac {1}{4}x^4 + C$。因此，${\int }_{1}^{2}(-x+{x}^{3})dx = \dfrac {9}{4}$。
根据题目描述，积分区域D由直线x=2，y=x和曲线xy=1围成。首先，确定积分区域的边界。直线x=2和y=x在第一象限内相交于点(2,2)。曲线xy=1在第一象限内与直线y=x相交于点(1,1)。因此，积分区域D在x轴上的范围是1到2，y轴上的范围是1/x到x。
步骤 2：设置积分
根据步骤1的分析，积分区域D可以表示为$1\leqslant x\leqslant 2$，$\dfrac {1}{x}\leqslant y\leqslant x$。因此，原积分可以表示为$\iint \dfrac {{x}^{2}}{{y}^{2}}d\sigma ={\int }_{1}^{2}{x}^{2}dx{\int }_{\dfrac {1}{x}}^{x}\dfrac {1}{{y}^{2}}dy$。
步骤 3：计算积分
首先计算内层积分${\int }_{\dfrac {1}{x}}^{x}\dfrac {1}{{y}^{2}}dy$。根据积分公式，$\int \dfrac {1}{{y}^{2}}dy = -\dfrac {1}{y} + C$。因此，${\int }_{\dfrac {1}{x}}^{x}\dfrac {1}{{y}^{2}}dy = -\dfrac {1}{x} + x$。然后计算外层积分${\int }_{1}^{2}(-x+{x}^{3})dx$。根据积分公式，$\int (-x+{x}^{3})dx = -\dfrac {1}{2}x^2 + \dfrac {1}{4}x^4 + C$。因此，${\int }_{1}^{2}(-x+{x}^{3})dx = \dfrac {9}{4}$。