题目
4.设函数(x)=dfrac (ln |x|)(|x-1|)sin x,则f(x)有()A.1个可去间断点,1个跳跃间断点B.1个可去间断点,1个无穷间断点C.2个跳跃间断点D.2个无穷间断点
4.设函数
,则f(x)有()
A.1个可去间断点,1个跳跃间断点
B.1个可去间断点,1个无穷间断点
C.2个跳跃间断点
D.2个无穷间断点
题目解答
答案
当x=0时,f(x)无定义,当x=1时,分母 
,因此,f(x)有2个间断点。
而
,
,
所以,函数f(x)在x=0处为可去间断点,在x=1处为跳跃间断点。
综上所述,本题应选 A。
解析
步骤 1：确定间断点
函数$f(x)=\dfrac {\ln |x|}{|x-1|}\sin x$在$x=0$和$x=1$处无定义，因为$\ln |x|$在$x=0$处无定义，而$|x-1|$在$x=1$处为0，导致分母为0。因此，$x=0$和$x=1$是函数的间断点。
步骤 2：分析$x=0$处的间断点类型
计算$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$，由于$\ln |x|$在$x=0$处趋于负无穷，而$\sin x$在$x=0$处趋于0，因此$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=0$。这意味着$x=0$处的间断点是可去间断点，因为通过定义$f(0)=0$可以使得函数在$x=0$处连续。
步骤 3：分析$x=1$处的间断点类型
计算$\lim _{x\rightarrow 1^{+}}f(x)$和$\lim _{x\rightarrow 1^{-}}f(x)$，由于$\ln |x|$在$x=1$处为0，而$\sin x$在$x=1$处为$\sin 1$，因此$\lim _{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\sin 1$，$\lim _{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=-\sin 1$。这意味着$x=1$处的间断点是跳跃间断点，因为左右极限存在但不相等。
函数$f(x)=\dfrac {\ln |x|}{|x-1|}\sin x$在$x=0$和$x=1$处无定义，因为$\ln |x|$在$x=0$处无定义，而$|x-1|$在$x=1$处为0，导致分母为0。因此，$x=0$和$x=1$是函数的间断点。
步骤 2：分析$x=0$处的间断点类型
计算$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)$，由于$\ln |x|$在$x=0$处趋于负无穷，而$\sin x$在$x=0$处趋于0，因此$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=0$。这意味着$x=0$处的间断点是可去间断点，因为通过定义$f(0)=0$可以使得函数在$x=0$处连续。
步骤 3：分析$x=1$处的间断点类型
计算$\lim _{x\rightarrow 1^{+}}f(x)$和$\lim _{x\rightarrow 1^{-}}f(x)$，由于$\ln |x|$在$x=1$处为0，而$\sin x$在$x=1$处为$\sin 1$，因此$\lim _{x\rightarrow 1^{+}}f(x)=\sin 1$，$\lim _{x\rightarrow 1^{-}}f(x)=-\sin 1$。这意味着$x=1$处的间断点是跳跃间断点，因为左右极限存在但不相等。