4.设函数(x)=dfrac (ln |x|)(|x-1|)sin x,则f(x)有()A.1个可去间断点,1个跳跃间断点B.1个可去间断点,1个无穷间断点C.2个跳跃间断点D.2个无穷间断点

考查要点：本题主要考查函数间断点的分类，涉及可去间断点、跳跃间断点的判断，以及极限的计算。

解题核心思路：

1. 确定间断点位置：找出函数无定义或不连续的点，即分母为零或对数函数内部为零的点。
2. 计算左右极限：分别判断间断点处的左右极限是否存在且相等。
3. 分类间断点类型：
   • 可去间断点：极限存在但不等于函数值（或函数无定义）。
   • 跳跃间断点：左右极限存在但不相等。

破题关键点：

• 分母|x-1|=0对应x=1，ln|x|无定义对应x=0。
• x=0处：分子ln|x|趋向负无穷，但乘以sinx后整体趋向0，极限存在。
• x=1处：左右极限分别为sin1和-sin1，不相等，故为跳跃间断点。

1. 确定间断点位置

• x=0：ln|x|在x=0处无定义。
• x=1：分母|x-1|=0，导致函数无定义。

2. 分析x=0处的间断点类型

计算极限

当x→0时：
$\lim_{x \to 0} \frac{\ln|x|}{|x-1|} \sin x = \lim_{x \to 0} \ln|x| \cdot \sin x$
利用等价无穷小替换$\sin x \approx x$：
$\lim_{x \to 0} x \ln|x| = 0$
结论：极限存在且为0，但函数在x=0处无定义，故为可去间断点。

3. 分析x=1处的间断点类型

右极限（x→1⁺）

当x→1⁺时，|x-1|=x-1，且$\ln x \approx x-1$：
$\lim_{x \to 1^+} \frac{\ln x}{x-1} \sin x = \lim_{x \to 1^+} 1 \cdot \sin 1 = \sin 1$

左极限（x→1⁻）

当x→1⁻时，|x-1|=1-x，且$\ln x \approx x-1$：
$\lim_{x \to 1^-} \frac{\ln x}{1-x} \sin x = \lim_{x \to 1^-} (-1) \cdot \sin 1 = -\sin 1$
结论：左右极限存在但不相等，故为跳跃间断点。