题目
设连续函数 f(x) 在区间 I 上不恒为零，F_1(x)、F_2(x) 是 f(x) 的两个不同的原函数，则在 I 上有（）。 A. F_1(x)= CF_2(x)B. F_1(x)- F_2(x)= CC. F_1(x)+ F_2(x)= CD. (F_1(x))/(F_2(x)) = C
设连续函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上不恒为零，$F_1(x)$、$F_2(x)$ 是 $f(x)$ 的两个不同的原函数，则在 $I$ 上有（）。
- A. $F_1(x)= CF_2(x)$
- B. $F_1(x)- F_2(x)= C$
- C. $F_1(x)+ F_2(x)= C$
- D. $\frac{F_1(x)}{F_2(x)} = C$
题目解答
答案
设 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 是 $f(x)$ 的两个原函数，即 $F_1'(x) = F_2'(x) = f(x)$。
对选项分析：
- **选项 A**：若 $F_1(x) = CF_2(x)$，则 $f(x) = Cf(x)$，需 $C=1$，但两原函数不同，排除。
- **选项 B**：$F_1(x) - F_2(x) = C$，求导得 $f(x) - f(x) = 0$，恒成立，正确。
- **选项 C**：$F_1(x) + F_2(x) = C$，求导得 $2f(x) = 0$，与题设矛盾，排除。
- **选项 D**：$\frac{F_1(x)}{F_2(x)} = C$，求导得 $f(x)[F_2(x) - F_1(x)] = 0$，需 $F_1(x) = F_2(x)$，排除。
**答案：** $\boxed{B}$
解析
步骤 1：理解原函数的概念
原函数是指一个函数的导数等于另一个函数。如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，那么 $F'(x) = f(x)$。由于原函数的导数是唯一的，但原函数本身可以相差一个常数，即如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，那么 $F(x) + C$ 也是 $f(x)$ 的原函数，其中 $C$ 是任意常数。
步骤 2：分析选项
- **选项 A**：$F_1(x) = CF_2(x)$。如果 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，那么 $F_1'(x) = F_2'(x) = f(x)$。若 $F_1(x) = CF_2(x)$，则 $F_1'(x) = C F_2'(x)$，即 $f(x) = C f(x)$。这只有在 $C=1$ 时才成立，但题目中说 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 是不同的原函数，所以 $C$ 不一定等于 1，因此选项 A 不正确。
- **选项 B**：$F_1(x) - F_2(x) = C$。如果 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，那么 $F_1'(x) = F_2'(x) = f(x)$。若 $F_1(x) - F_2(x) = C$，则 $(F_1(x) - F_2(x))' = 0$，即 $f(x) - f(x) = 0$，这总是成立的，因此选项 B 正确。
- **选项 C**：$F_1(x) + F_2(x) = C$。如果 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，那么 $F_1'(x) = F_2'(x) = f(x)$。若 $F_1(x) + F_2(x) = C$，则 $(F_1(x) + F_2(x))' = 0$，即 $2f(x) = 0$，这与题设矛盾，因此选项 C 不正确。
- **选项 D**：$\frac{F_1(x)}{F_2(x)} = C$。如果 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，那么 $F_1'(x) = F_2'(x) = f(x)$。若 $\frac{F_1(x)}{F_2(x)} = C$，则 $\frac{F_1'(x)F_2(x) - F_1(x)F_2'(x)}{F_2(x)^2} = 0$，即 $f(x)[F_2(x) - F_1(x)] = 0$，这只有在 $F_1(x) = F_2(x)$ 时才成立，但题目中说 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 是不同的原函数，因此选项 D 不正确。
原函数是指一个函数的导数等于另一个函数。如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，那么 $F'(x) = f(x)$。由于原函数的导数是唯一的，但原函数本身可以相差一个常数，即如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，那么 $F(x) + C$ 也是 $f(x)$ 的原函数，其中 $C$ 是任意常数。
步骤 2：分析选项
- **选项 A**：$F_1(x) = CF_2(x)$。如果 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，那么 $F_1'(x) = F_2'(x) = f(x)$。若 $F_1(x) = CF_2(x)$，则 $F_1'(x) = C F_2'(x)$，即 $f(x) = C f(x)$。这只有在 $C=1$ 时才成立，但题目中说 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 是不同的原函数，所以 $C$ 不一定等于 1，因此选项 A 不正确。
- **选项 B**：$F_1(x) - F_2(x) = C$。如果 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，那么 $F_1'(x) = F_2'(x) = f(x)$。若 $F_1(x) - F_2(x) = C$，则 $(F_1(x) - F_2(x))' = 0$，即 $f(x) - f(x) = 0$，这总是成立的，因此选项 B 正确。
- **选项 C**：$F_1(x) + F_2(x) = C$。如果 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，那么 $F_1'(x) = F_2'(x) = f(x)$。若 $F_1(x) + F_2(x) = C$，则 $(F_1(x) + F_2(x))' = 0$，即 $2f(x) = 0$，这与题设矛盾，因此选项 C 不正确。
- **选项 D**：$\frac{F_1(x)}{F_2(x)} = C$。如果 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，那么 $F_1'(x) = F_2'(x) = f(x)$。若 $\frac{F_1(x)}{F_2(x)} = C$，则 $\frac{F_1'(x)F_2(x) - F_1(x)F_2'(x)}{F_2(x)^2} = 0$，即 $f(x)[F_2(x) - F_1(x)] = 0$，这只有在 $F_1(x) = F_2(x)$ 时才成立，但题目中说 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ 是不同的原函数，因此选项 D 不正确。