题目
函数y=((2)^x)/((2)^x+1)的反函数为 ____ ．
函数y=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$的反函数为 ____ ．
题目解答
答案
解：∵y=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，
∴y（2x+1）=2x，
∴${2}^{x}=\frac{y}{1-y}$（y≠1），
∴x=$lo{g}_{2}\frac{y}{1-y}$，
∴反函数为y=$lo{g}_{2}\frac{x}{1-x}$，
由$\frac{x}{1-x}$＞0得，0＜x＜1，
∴反函数为y=$lo{g}_{2}\frac{x}{1-x}$（0＜x＜1），
故答案为：y=$lo{g}_{2}\frac{x}{1-x}$（0＜x＜1）．
∴y（2x+1）=2x，
∴${2}^{x}=\frac{y}{1-y}$（y≠1），
∴x=$lo{g}_{2}\frac{y}{1-y}$，
∴反函数为y=$lo{g}_{2}\frac{x}{1-x}$，
由$\frac{x}{1-x}$＞0得，0＜x＜1，
∴反函数为y=$lo{g}_{2}\frac{x}{1-x}$（0＜x＜1），
故答案为：y=$lo{g}_{2}\frac{x}{1-x}$（0＜x＜1）．
解析
步骤 1：求解原函数的值域
原函数y=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，由于$2^{x}$总是正数，所以$2^{x}+1$也总是正数，因此y的值域为(0,1)。
步骤 2：求解原函数的反函数
将原函数y=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$变形为$y(2^{x}+1)=2^{x}$，即$y2^{x}+y=2^{x}$，进一步得到$2^{x}(y-1)=-y$，从而$2^{x}=\frac{y}{1-y}$。对两边取以2为底的对数，得到$x=lo{g}_{2}\frac{y}{1-y}$。因此，原函数的反函数为$y=lo{g}_{2}\frac{x}{1-x}$。
步骤 3：确定反函数的定义域
由于$2^{x}=\frac{y}{1-y}$，所以$\frac{y}{1-y}$必须大于0，即$0
原函数y=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，由于$2^{x}$总是正数，所以$2^{x}+1$也总是正数，因此y的值域为(0,1)。
步骤 2：求解原函数的反函数
将原函数y=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$变形为$y(2^{x}+1)=2^{x}$，即$y2^{x}+y=2^{x}$，进一步得到$2^{x}(y-1)=-y$，从而$2^{x}=\frac{y}{1-y}$。对两边取以2为底的对数，得到$x=lo{g}_{2}\frac{y}{1-y}$。因此，原函数的反函数为$y=lo{g}_{2}\frac{x}{1-x}$。
步骤 3：确定反函数的定义域
由于$2^{x}=\frac{y}{1-y}$，所以$\frac{y}{1-y}$必须大于0，即$0