题目
函数y=((2)^x)/((2)^x+1)的反函数为 ____ ．
函数y=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$的反函数为 ____ ．
题目解答
答案
解：∵y=$\frac{{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$，
∴y（2x+1）=2x，
∴${2}^{x}=\frac{y}{1-y}$（y≠1），
∴x=$lo{g}_{2}\frac{y}{1-y}$，
∴反函数为y=$lo{g}_{2}\frac{x}{1-x}$，
由$\frac{x}{1-x}$＞0得，0＜x＜1，
∴反函数为y=$lo{g}_{2}\frac{x}{1-x}$（0＜x＜1），
故答案为：y=$lo{g}_{2}\frac{x}{1-x}$（0＜x＜1）．
∴y（2x+1）=2x，
∴${2}^{x}=\frac{y}{1-y}$（y≠1），
∴x=$lo{g}_{2}\frac{y}{1-y}$，
∴反函数为y=$lo{g}_{2}\frac{x}{1-x}$，
由$\frac{x}{1-x}$＞0得，0＜x＜1，
∴反函数为y=$lo{g}_{2}\frac{x}{1-x}$（0＜x＜1），
故答案为：y=$lo{g}_{2}\frac{x}{1-x}$（0＜x＜1）．
解析
考查要点：本题主要考查反函数的求法，涉及指数函数与对数函数的转换，以及函数定义域的确定。
解题核心思路：
- 交换变量：将原函数表达式中的$x$和$y$互换，解出新的$y$表达式。
- 解方程：通过代数变形，将方程转化为以$2^x$为未知数的形式，再取对数求解。
- 确定定义域：根据原函数的值域确定反函数的定义域。
破题关键点：
- 分离$2^x$：通过移项将方程中的$2^x$项集中，转化为线性表达式。
- 对数转换：利用对数函数与指数函数的互逆关系，将指数方程转化为对数形式。
- 定义域分析：原函数的值域为$0 < y < 1$，因此反函数的定义域为$0 < x < 1$。
步骤1：写出原函数并交换变量
原函数为$y = \dfrac{2^x}{2^x + 1}$，交换$x$和$y$后得到：
$x = \dfrac{2^y}{2^y + 1}.$
步骤2：解方程求$2^y$
- 两边同乘分母：
$x(2^y + 1) = 2^y.$ - 展开并整理：
$x \cdot 2^y + x = 2^y.$ - 移项提取公因式：
$2^y(x - 1) = -x.$ - 解得：
$2^y = \dfrac{x}{1 - x} \quad (x \neq 1).$
步骤3：取对数求$y$
对等式两边取以$2$为底的对数：
$y = \log_2 \dfrac{x}{1 - x}.$
步骤4：确定定义域
原函数中$\dfrac{2^x}{2^x + 1}$的值域为$0 < y < 1$，因此反函数的定义域为$0 < x < 1$。