3、设函数f(x)在x=0处连续，且lim_(xto0)(xf(x)-e^2sin x+1)/(ln(1+x)+ln(1-x))=-3证明f(x)在x=0处可导，并求f'(0)

为了证明函数 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处可导，并求 $ f'(0) $，我们从给定的极限条件出发，逐步分析。 给定条件是： \[ \lim_{x \to 0} \frac{xf(x) - e^{2\sin x} + 1}{\ln(1+x) + \ln(1-x)} = -3 \] 首先，我们简化分母。利用对数的性质，我们有： \[ \ln(1+x) + \ln(1-x) = \ln[(1+x)(1-x)] = \ln(1-x^2) \] 对于 $ x $ 接近 0 时，可以使用 $ \ln(1-x^2) $ 的泰勒展开： \[ \ln(1-x^2) \approx -x^2 \] 因此，原极限可以近似为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{xf(x) - e^{2\sin x} + 1}{-x^2} \] 根据给定的条件，这个极限等于 -3，所以： \[ \lim_{x \to 0} \frac{xf(x) - e^{2\sin x} + 1}{-x^2} = -3 \] 将等式两边乘以 -1，得到： \[ \lim_{x \to 0} \frac{xf(x) - e^{2\sin x} + 1}{x^2} = 3 \] 接下来，我们分析 $ e^{2\sin x} $ 在 $ x $ 接近 0 时的 behavior。使用 $ e^{2\sin x} $ 的泰勒展开： \[ e^{2\sin x} \approx 1 + 2\sin x + \frac{(2\sin x)^2}{2!} + \cdots = 1 + 2\sin x + 2\sin^2 x + \cdots \] 对于 $ x $ 接近 0， $ \sin x \approx x $，所以： \[ e^{2\sin x} \approx 1 + 2x + 2x^2 + \cdots \] 将这个近似代入极限表达式，得到： \[ \lim_{x \to 0} \frac{xf(x) - (1 + 2x + 2x^2 + \cdots) + 1}{x^2} = 3 \] 简化分子： \[ xf(x) - 1 - 2x - 2x^2 + \cdots + 1 = xf(x) - 2x - 2x^2 + \cdots \] 所以极限变为： \[ \lim_{x \to 0} \frac{xf(x) - 2x - 2x^2 + \cdots}{x^2} = 3 \] 将分子中的 $ x $ 提出来： \[ \lim_{x \to 0} \frac{x[f(x) - 2 - 2x + \cdots]}{x^2} = 3 \] 简化： \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - 2 - 2x + \cdots}{x} = 3 \] 由于 $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处连续， $ f(0) $ 存在。设 $ f(0) = c $。当 $ x $ 接近 0 时， $ f(x) $ 接近 $ c $。因此，可以写成： \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0) + f(0) - 2 - 2x + \cdots}{x} = 3 \] 由于 $ f(0) = c $， $ f(0) - 2 $ 是常数，其在 $ x $ 除以 $ x $ 时的极限为 0。所以： \[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{f(0) - 2 - 2x + \cdots}{x} = 3 \] 第一项是 $ f'(0) $ 的定义，第二项由于 $ f(0) - 2 $ 是常数，其在 $ x $ 除以 $ x $ 时的极限为 0，所以： \[ f'(0) + \lim_{x \to 0} \frac{-2x + \cdots}{x} = 3 \] 简化： \[ f'(0) - 2 = 3 \] 解得: \[ f'(0) = 5 \] 因此， $ f(x) $ 在 $ x=0 $ 处可导，且 $ f'(0) = 5 $。 \[ \boxed{5} \]