题目
[题目]如果 (x)=dfrac (|x|)(x(x-1){(x-2))^2} 那么f(x)在以下-|||-的有界区间是 ()-|||-A. (-1,0)-|||-B.(0,1)-|||-C.(1,2)-|||-D.(2,3)
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析函数 $f(x)$ 的定义域
函数 $f(x)=\dfrac {|x|}{x(x-1){(x-2)}^{2}}$ 的定义域为 $x \neq 0, 1, 2$，因为这些点会使分母为零，导致函数在这些点上无定义。
步骤 2：分析函数 $f(x)$ 在各区间内的行为
- 在区间 (-1,0) 内，$x<0$，所以 $|x|=-x$，函数变为 $f(x)=\dfrac {-x}{x(x-1){(x-2)}^{2}}=\dfrac {-1}{(x-1){(x-2)}^{2}}$。由于分母在该区间内始终为正，函数值为负，且随着 $x$ 的增大，函数值逐渐减小，因此在该区间内函数是有界的。
- 在区间 (0,1) 内，$x>0$，所以 $|x|=x$，函数变为 $f(x)=\dfrac {x}{x(x-1){(x-2)}^{2}}=\dfrac {1}{(x-1){(x-2)}^{2}}$。由于分母在该区间内始终为负，函数值为负，且随着 $x$ 的增大，函数值逐渐减小，因此在该区间内函数是有界的。
- 在区间 (1,2) 内，$x>0$，所以 $|x|=x$，函数变为 $f(x)=\dfrac {x}{x(x-1){(x-2)}^{2}}=\dfrac {1}{(x-1){(x-2)}^{2}}$。由于分母在该区间内始终为负，函数值为负，且随着 $x$ 的增大，函数值逐渐减小，因此在该区间内函数是有界的。
- 在区间 (2,3) 内，$x>0$，所以 $|x|=x$，函数变为 $f(x)=\dfrac {x}{x(x-1){(x-2)}^{2}}=\dfrac {1}{(x-1){(x-2)}^{2}}$。由于分母在该区间内始终为正，函数值为正，且随着 $x$ 的增大，函数值逐渐减小，因此在该区间内函数是有界的。
步骤 3：确定有界区间
根据上述分析，函数 $f(x)$ 在区间 (-1,0)、(0,1)、(1,2) 和 (2,3) 内都是有界的。但是题目要求选择一个有界区间，因此选择其中一个即可。根据题目选项，选择 A. (-1,0)。
函数 $f(x)=\dfrac {|x|}{x(x-1){(x-2)}^{2}}$ 的定义域为 $x \neq 0, 1, 2$，因为这些点会使分母为零，导致函数在这些点上无定义。
步骤 2：分析函数 $f(x)$ 在各区间内的行为
- 在区间 (-1,0) 内，$x<0$，所以 $|x|=-x$，函数变为 $f(x)=\dfrac {-x}{x(x-1){(x-2)}^{2}}=\dfrac {-1}{(x-1){(x-2)}^{2}}$。由于分母在该区间内始终为正，函数值为负，且随着 $x$ 的增大，函数值逐渐减小，因此在该区间内函数是有界的。
- 在区间 (0,1) 内，$x>0$，所以 $|x|=x$，函数变为 $f(x)=\dfrac {x}{x(x-1){(x-2)}^{2}}=\dfrac {1}{(x-1){(x-2)}^{2}}$。由于分母在该区间内始终为负，函数值为负，且随着 $x$ 的增大，函数值逐渐减小，因此在该区间内函数是有界的。
- 在区间 (1,2) 内，$x>0$，所以 $|x|=x$，函数变为 $f(x)=\dfrac {x}{x(x-1){(x-2)}^{2}}=\dfrac {1}{(x-1){(x-2)}^{2}}$。由于分母在该区间内始终为负，函数值为负，且随着 $x$ 的增大，函数值逐渐减小，因此在该区间内函数是有界的。
- 在区间 (2,3) 内，$x>0$，所以 $|x|=x$，函数变为 $f(x)=\dfrac {x}{x(x-1){(x-2)}^{2}}=\dfrac {1}{(x-1){(x-2)}^{2}}$。由于分母在该区间内始终为正，函数值为正，且随着 $x$ 的增大，函数值逐渐减小，因此在该区间内函数是有界的。
步骤 3：确定有界区间
根据上述分析，函数 $f(x)$ 在区间 (-1,0)、(0,1)、(1,2) 和 (2,3) 内都是有界的。但是题目要求选择一个有界区间，因此选择其中一个即可。根据题目选项，选择 A. (-1,0)。