题目
50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉，其中有3个铆钉强度太弱，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个强度就太弱，求发生一个部件强度太弱的概率。
50只铆钉随机地取来用在10个部件上，每个部件用3只铆钉，其中有3个铆钉强度太弱，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个强度就太弱，求发生一个部件强度太弱的概率。
题目解答
答案
共有
种安装铆钉的方法，其中只有一个部件强度太弱的种数为
，所以发生一个部件强度太弱的概率为$${C_1_0^1\over C_5_0^3} ={1\over 1960} $$。
解析
步骤 1：确定铆钉的安装方法总数
首先，我们需要确定50只铆钉随机安装在10个部件上的方法总数。每个部件用3只铆钉，因此，第一个部件有${C}_{50}^{3}$种选择方法，第二个部件有${C}_{47}^{3}$种选择方法，以此类推，直到最后一个部件有${C}_{23}^{3}$种选择方法。因此，总的安装方法数为${C}_{50}^{3}\times {C}_{47}^{3}\times {C}_{44}^{3}\times \cdots \times {C}_{23}^{3}$。
步骤 2：确定只有一个部件强度太弱的安装方法数
接下来，我们需要确定只有一个部件强度太弱的安装方法数。首先，从10个部件中选择一个部件来安装3个强度太弱的铆钉，有${C}_{10}^{1}$种选择方法。然后，剩下的47个铆钉中选择3个铆钉安装在第二个部件上，有${C}_{47}^{3}$种选择方法，以此类推，直到最后一个部件有${C}_{23}^{3}$种选择方法。因此，只有一个部件强度太弱的安装方法数为${C}_{10}^{1}\times {C}_{47}^{3}\times {C}_{44}^{3}\times \cdots \times {C}_{23}^{3}$。
步骤 3：计算发生一个部件强度太弱的概率
最后，我们计算发生一个部件强度太弱的概率。这个概率等于只有一个部件强度太弱的安装方法数除以总的安装方法数。因此，概率为$\frac{{C}_{10}^{1}\times {C}_{47}^{3}\times {C}_{44}^{3}\times \cdots \times {C}_{23}^{3}}{{C}_{50}^{3}\times {C}_{47}^{3}\times {C}_{44}^{3}\times \cdots \times {C}_{23}^{3}}$。由于${C}_{47}^{3}\times {C}_{44}^{3}\times \cdots \times {C}_{23}^{3}$在分子和分母中都出现，可以相互抵消，因此概率简化为$\frac{{C}_{10}^{1}}{{C}_{50}^{3}}$。计算${C}_{10}^{1}$和${C}_{50}^{3}$的值，得到$\frac{10}{19600}$，进一步简化为$\frac{1}{1960}$。
首先，我们需要确定50只铆钉随机安装在10个部件上的方法总数。每个部件用3只铆钉，因此，第一个部件有${C}_{50}^{3}$种选择方法，第二个部件有${C}_{47}^{3}$种选择方法，以此类推，直到最后一个部件有${C}_{23}^{3}$种选择方法。因此，总的安装方法数为${C}_{50}^{3}\times {C}_{47}^{3}\times {C}_{44}^{3}\times \cdots \times {C}_{23}^{3}$。
步骤 2：确定只有一个部件强度太弱的安装方法数
接下来，我们需要确定只有一个部件强度太弱的安装方法数。首先，从10个部件中选择一个部件来安装3个强度太弱的铆钉，有${C}_{10}^{1}$种选择方法。然后，剩下的47个铆钉中选择3个铆钉安装在第二个部件上，有${C}_{47}^{3}$种选择方法，以此类推，直到最后一个部件有${C}_{23}^{3}$种选择方法。因此，只有一个部件强度太弱的安装方法数为${C}_{10}^{1}\times {C}_{47}^{3}\times {C}_{44}^{3}\times \cdots \times {C}_{23}^{3}$。
步骤 3：计算发生一个部件强度太弱的概率
最后，我们计算发生一个部件强度太弱的概率。这个概率等于只有一个部件强度太弱的安装方法数除以总的安装方法数。因此，概率为$\frac{{C}_{10}^{1}\times {C}_{47}^{3}\times {C}_{44}^{3}\times \cdots \times {C}_{23}^{3}}{{C}_{50}^{3}\times {C}_{47}^{3}\times {C}_{44}^{3}\times \cdots \times {C}_{23}^{3}}$。由于${C}_{47}^{3}\times {C}_{44}^{3}\times \cdots \times {C}_{23}^{3}$在分子和分母中都出现，可以相互抵消，因此概率简化为$\frac{{C}_{10}^{1}}{{C}_{50}^{3}}$。计算${C}_{10}^{1}$和${C}_{50}^{3}$的值，得到$\frac{10}{19600}$，进一步简化为$\frac{1}{1960}$。