题目
(9) int dfrac (x{e)^arctan x}({(1+{x)^2)}^dfrac (3{2)}}dx ;
题目解答
答案
本题考查了不定积分的计算，属于基础题。
$\int \dfrac {x{e}^{\arctan x}}{{(1+{x}^{2})}^{\dfrac {3}{2}}}dx$
$=\int {e}^{\arctan x}d\arctan x$
$={e}^{\arctan x}+C$
$\int \dfrac {x{e}^{\arctan x}}{{(1+{x}^{2})}^{\dfrac {3}{2}}}dx$
$=\int {e}^{\arctan x}d\arctan x$
$={e}^{\arctan x}+C$
解析
步骤 1：识别积分形式
观察积分 $\int \dfrac {x{e}^{\arctan x}}{{(1+{x}^{2})}^{\dfrac {3}{2}}}dx$，注意到分母中的 $(1+x^2)^{\frac{3}{2}}$ 与分子中的 $x$ 项，提示我们可能需要使用三角函数的代换，特别是 $\arctan x$ 的导数 $\frac{1}{1+x^2}$。
步骤 2：使用代换
设 $u = \arctan x$，则 $du = \frac{1}{1+x^2}dx$。注意到 $x = \tan u$，因此 $dx = (1+x^2)du = (1+\tan^2 u)du = \sec^2 u du$。
步骤 3：代入并简化
将 $u$ 和 $du$ 代入原积分，得到 $\int e^u \cdot \frac{\tan u}{(1+\tan^2 u)^{\frac{3}{2}}} \cdot \sec^2 u du$。由于 $1+\tan^2 u = \sec^2 u$，则 $(1+\tan^2 u)^{\frac{3}{2}} = \sec^3 u$，因此积分简化为 $\int e^u du$。
步骤 4：计算积分
$\int e^u du = e^u + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 5：回代
将 $u = \arctan x$ 回代，得到最终结果。
观察积分 $\int \dfrac {x{e}^{\arctan x}}{{(1+{x}^{2})}^{\dfrac {3}{2}}}dx$，注意到分母中的 $(1+x^2)^{\frac{3}{2}}$ 与分子中的 $x$ 项，提示我们可能需要使用三角函数的代换，特别是 $\arctan x$ 的导数 $\frac{1}{1+x^2}$。
步骤 2：使用代换
设 $u = \arctan x$，则 $du = \frac{1}{1+x^2}dx$。注意到 $x = \tan u$，因此 $dx = (1+x^2)du = (1+\tan^2 u)du = \sec^2 u du$。
步骤 3：代入并简化
将 $u$ 和 $du$ 代入原积分，得到 $\int e^u \cdot \frac{\tan u}{(1+\tan^2 u)^{\frac{3}{2}}} \cdot \sec^2 u du$。由于 $1+\tan^2 u = \sec^2 u$，则 $(1+\tan^2 u)^{\frac{3}{2}} = \sec^3 u$，因此积分简化为 $\int e^u du$。
步骤 4：计算积分
$\int e^u du = e^u + C$，其中 $C$ 是积分常数。
步骤 5：回代
将 $u = \arctan x$ 回代，得到最终结果。