题目

设数列 a_n 满足 a_1 = 3，(a_(n+1))/(n) = (a_n)/(n+1) + (1)/(n(n+1))(1) 证明：na_n 为等差数列；(2) 设 f(x) = a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_m x^m，求 f'(-2).

设数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 = 3$，$\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}$ (1) 证明：$\{na_n\}$ 为等差数列； (2) 设 $f(x) = a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_m x^m$，求 $f'(-2)$.

题目解答

答案

我们来逐步解决这个题目。 --- ## **题目：** 设数列 $\{a_n\}$ 满足： - $a_1 = 3$， - $\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}$ --- ## **(1) 证明：$\{na_n\}$ 为等差数列** ### **思路分析：** 我们已知： $$ \frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} $$ 两边同时乘以 $n(n+1)$，目的是消去分母，简化表达式： $$ n(n+1) \cdot \frac{a_{n+1}}{n} = n(n+1) \cdot \left( \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)} \right) $$ 化简左边： $$ (n+1)a_{n+1} $$ 化简右边： $$ n(n+1) \cdot \frac{a_n}{n+1} + n(n+1) \cdot \frac{1}{n(n+1)} = na_n + 1 $$ 所以有： $$ (n+1)a_{n+1} = na_n + 1 $$ --- ### **构造新数列：** 我们定义新数列： $$ b_n = na_n $$ 那么： $$ b_{n+1} = (n+1)a_{n+1} $$ 由上式： $$ b_{n+1} = b_n + 1 $$ 这说明： $$ b_{n+1} - b_n = 1 $$ 所以，$\{b_n\}$ 是一个**公差为 1 的等差数列**。 --- ### **结论：** $\{na_n\}$ 是等差数列，公差为 1。 --- ## **(2) 设 $f(x) = a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_m x^m$，求 $f'(-2)$** --- ### **步骤一：先求 $f'(x)$** 我们有： $$ f(x) = \sum_{n=1}^m a_n x^n $$ 对其求导： $$ f'(x) = \sum_{n=1}^m n a_n x^{n-1} $$ --- ### **步骤二：代入 $x = -2$** $$ f'(-2) = \sum_{n=1}^m n a_n (-2)^{n-1} $$ --- ### **步骤三：利用第(1)问结论** 我们已经知道： $$ b_n = na_n \Rightarrow a_n = \frac{b_n}{n} $$ 并且 $\{b_n\}$ 是等差数列，公差为 1。 我们还需要知道 $b_1 = 1 \cdot a_1 = 3$，所以： $$ b_n = 3 + (n-1) \cdot 1 = n + 2 $$ 所以： $$ a_n = \frac{b_n}{n} = \frac{n + 2}{n} $$ --- ### **代入 $f'(-2)$ 表达式：** $$ f'(-2) = \sum_{n=1}^m n a_n (-2)^{n-1} = \sum_{n=1}^m n \cdot \frac{n+2}{n} \cdot (-2)^{n-1} $$ $$ = \sum_{n=1}^m (n+2)(-2)^{n-1} $$ --- ### **最终表达式：** $$ \boxed{f'(-2) = \sum_{n=1}^m (n+2)(-2)^{n-1}} $$ --- ## **总结：** ### **(1)** 证明： 我们通过递推关系推导出： $$ (n+1)a_{n+1} = na_n + 1 \Rightarrow b_{n+1} = b_n + 1 $$ 所以 $\{na_n\}$ 是等差数列。 --- ### **(2)** 求导并代入： $$ f'(x) = \sum_{n=1}^m n a_n x^{n-1} \Rightarrow f'(-2) = \sum_{n=1}^m (n+2)(-2)^{n-1} $$ --- ✅ **最终答案：** - (1) $\{na_n\}$ 是公差为 1 的等差数列； - (2) $f'(-2) = \boxed{\sum_{n=1}^m (n+2)(-2)^{n-1}}$

解析

考查要点：

  1. 递推关系的变形与等差数列的构造：通过递推式变形，引入新数列简化问题，证明等差数列。
  2. 导数的计算与数列求和：利用导数的定义求表达式，结合已知数列通项公式进行求和。

解题核心思路：

  1. 第一问：将递推式两边乘以公分母，构造新数列 $b_n = n a_n$，通过递推关系证明其为等差数列。
  2. 第二问：先求导得到 $f'(x)$，代入 $x = -2$，结合第一问的结论将 $a_n$ 用 $b_n$ 表示，最终转化为求和表达式。

破题关键点：

  • 关键变形：将原递推式转化为 $(n+1)a_{n+1} = n a_n + 1$，发现新数列 $b_n$ 的等差性质。
  • 通项公式：利用等差数列通项公式求出 $b_n = n + 2$，进而得到 $a_n = \frac{n+2}{n}$。

(1) 证明：$\{na_n\}$ 为等差数列

递推式变形

原递推式为：
$\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1} + \frac{1}{n(n+1)}$
两边同时乘以 $n(n+1)$，得：
$(n+1)a_{n+1} = n a_n + 1$

构造新数列

定义 $b_n = n a_n$，则递推式变为：
$b_{n+1} = b_n + 1$
这表明 $\{b_n\}$ 是公差为 1 的等差数列。

(2) 求 $f'(-2)$

求导表达式

函数 $f(x) = \sum_{n=1}^m a_n x^n$ 的导数为：
$f'(x) = \sum_{n=1}^m n a_n x^{n-1}$

代入 $x = -2$

$f'(-2) = \sum_{n=1}^m n a_n (-2)^{n-1}$

利用第一问结论

由 $\{b_n\}$ 是等差数列，且 $b_1 = 1 \cdot a_1 = 3$，得通项公式：
$b_n = 3 + (n-1) \cdot 1 = n + 2$
因此，$a_n = \frac{b_n}{n} = \frac{n+2}{n}$。

代入求和式

$f'(-2) = \sum_{n=1}^m n \cdot \frac{n+2}{n} \cdot (-2)^{n-1} = \sum_{n=1}^m (n+2)(-2)^{n-1}$