题目
(∫)_(0)^2sqrt(4-(x)^2)dx等于（ ） A. (π)/(2) B. π C. 2π D. 4π
${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx等于（ ）
- A. $\frac{π}{2}$
- B. π
- C. 2π
- D. 4π
题目解答
答案
解：由定积分的几何意义知：${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx是如图所示的阴影部分的面积，即表示以原点为圆心以2为半径的圆的面积的四分之一，故${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{4}$π×22=π，
故选：B．
解析
步骤 1：理解定积分的几何意义
${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示的是函数$y=\sqrt{4-{x}^{2}}$在区间[0,2]上的定积分，其几何意义是该函数图像与x轴在[0,2]区间内所围成的面积。
步骤 2：确定函数图像
函数$y=\sqrt{4-{x}^{2}}$是圆$x^{2}+y^{2}=4$的上半部分，即圆心在原点，半径为2的圆的上半部分。
步骤 3：计算定积分的值
由于${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示的是圆$x^{2}+y^{2}=4$的上半部分在[0,2]区间内的面积，即圆的四分之一的面积，因此${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{4}$π×2^{2}=π。
${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示的是函数$y=\sqrt{4-{x}^{2}}$在区间[0,2]上的定积分，其几何意义是该函数图像与x轴在[0,2]区间内所围成的面积。
步骤 2：确定函数图像
函数$y=\sqrt{4-{x}^{2}}$是圆$x^{2}+y^{2}=4$的上半部分，即圆心在原点，半径为2的圆的上半部分。
步骤 3：计算定积分的值
由于${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx表示的是圆$x^{2}+y^{2}=4$的上半部分在[0,2]区间内的面积，即圆的四分之一的面积，因此${∫}_{0}^{2}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{1}{4}$π×2^{2}=π。