[题目]证明当 gt 0 时, (1+x)ln (1+x)gt x

考查要点：本题主要考查利用导数证明不等式的方法，涉及函数单调性的分析。

解题核心思路：构造辅助函数$f(x) = (1+x)\ln(1+x) - x$，通过求导分析其单调性，结合初始值$f(0)=0$，证明当$x>0$时$f(x)>0$，从而得出原不等式成立。

破题关键点：

1. 构造函数：将不等式转化为函数形式，便于分析。
2. 求导分析单调性：通过导数$f'(x) = \ln(1+x)$的符号判断函数单调性。
3. 结合初始值：利用$f(0)=0$和单调递增性，推出$x>0$时$f(x)>0$。

步骤1：构造辅助函数
设函数$f(x) = (1+x)\ln(1+x) - x$，需证明当$x>0$时$f(x) > 0$。

步骤2：求导分析单调性
计算$f(x)$的导数：
$f'(x) = \frac{d}{dx}\left[(1+x)\ln(1+x)\right] - \frac{d}{dx}(x)$
应用乘积法则：
$\frac{d}{dx}\left[(1+x)\ln(1+x)\right] = \ln(1+x) + (1+x) \cdot \frac{1}{1+x} = \ln(1+x) + 1$
因此：
$f'(x) = \ln(1+x) + 1 - 1 = \ln(1+x)$

步骤3：判断导数符号
当$x > 0$时，$1+x > 1$，故$\ln(1+x) > 0$，即$f'(x) > 0$。
结论：$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增。

步骤4：结合初始值
计算$f(0)$：
$f(0) = (1+0)\ln(1+0) - 0 = 0$
由于$f(x)$在$x>0$时单调递增，且$f(0)=0$，故当$x>0$时：
$f(x) > f(0) = 0$
即：
$(1+x)\ln(1+x) - x > 0 \quad \Rightarrow \quad (1+x)\ln(1+x) > x$