计算= int dydz-ydzdx+(z+1)dxdy其中= int dydz-ydzdx+(z+1)dxdy是球面= int dydz-ydzdx+(z+1)dxdy的下半部分的下侧.

步骤 1：应用高斯公式
根据高斯公式，对于一个闭合曲面S，其上的向量场F的通量可以表示为该向量场的散度在该闭合曲面所包围的体积V上的积分。即：
$$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV$$
其中，$\mathbf{F} = (P, Q, R)$，$d\mathbf{S} = (dydz, -dzdx, (z+1)dxdy)$，$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$。

步骤 2：计算散度
对于给定的向量场$\mathbf{F} = (0, -y, z+1)$，计算其散度：
$$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial (0)}{\partial x} + \frac{\partial (-y)}{\partial y} + \frac{\partial (z+1)}{\partial z} = 0 - 1 + 1 = 0$$

步骤 3：应用高斯公式计算通量
由于$\nabla \cdot \mathbf{F} = 0$，根据高斯公式，该向量场在球面${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}={R}^{2}$的下半部分的下侧的通量为：
$$\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV = \iiint_{V} 0 \, dV = 0$$