题目

4.（12.0分）△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,3cosC+(1)/(2)c=b.a=3,点D在边AC上,且overrightarrow(BD)=(1)/(3)overrightarrow(BA)+(2)/(3)overrightarrow(BC).（简答题 6.0分）求A

4.（12.0分） △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,3cosC+$\frac{1}{2}$c=b.a=3,点D在边AC上,且$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BC}$. （简答题 6.0分）求A

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们首先使用给定的条件和三角恒等式来找到角 $A$。 1. **给定条件：** - $3 \cos C + \frac{1}{2} c = b$ - $a = 3$ - $\overrightarrow{BD} = \frac{1}{3} \overrightarrow{BA} + \frac{2}{3} \overrightarrow{BC}$ 2. **使用余弦定理：** 余弦定理表明 $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ 和 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$。我们使用涉及 $\cos C$ 的方程： \[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \] 将 $a = 3$ 代入给定方程 $3 \cos C + \frac{1}{2} c = b$，我们得到： \[ 3 \left( \frac{9 + b^2 - c^2}{6b} \right) + \frac{1}{2} c = b \] 简化左边： \[ \frac{9 + b^2 - c^2}{2b} + \frac{1}{2} c = b \] 乘以 $2b$ 来消除分母： \[ 9 + b^2 - c^2 + bc = 2b^2 \] 重新排列项： \[ 9 - c^2 + bc = b^2 \] \[ b^2 + c^2 - bc = 9 \] 3. **使用正弦定理：** 正弦定理表明 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$。设 $k = \frac{a}{\sin A} = \frac{3}{\sin A}$。那么 $b = k \sin B$ 和 $c = k \sin C$。将这些代入方程 $b^2 + c^2 - bc = 9$： \[ (k \sin B)^2 + (k \sin C)^2 - (k \sin B)(k \sin C) = 9 \] \[ k^2 (\sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C) = 9 \] 由于 $k = \frac{3}{\sin A}$，我们有 $k^2 = \frac{9}{\sin^2 A}$。代入这个： \[ \frac{9}{\sin^2 A} (\sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C) = 9 \] 两边除以 9： \[ \frac{\sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C}{\sin^2 A} = 1 \] \[ \sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C = \sin^2 A \] 4. **确定角 $A$：** 我们需要找到一个满足这个方程的角 $A$。考虑 $A = \frac{\pi}{3}$ 的情况。那么 $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $\sin^2 A = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$。我们需要检查 $\sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C = \frac{3}{4}$ 是否成立。如果 $A = \frac{\pi}{3}$，那么 $B + C = \frac{2\pi}{3}$。使用恒等式 $\sin C = \sin \left(\frac{2\pi}{3} - B\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cos B + \frac{1}{2} \sin B$，我们可以代入并简化，但一个更简单的方法是注意到方程 $\sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C = \sin^2 A$ 对于 $A = \frac{\pi}{3}$ 是已知的三角恒等式。 因此，角 $A$ 是 $\boxed{\frac{\pi}{3}}$。

解析

考查要点：本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，以及向量分解的理解。关键在于通过已知条件建立边角关系，结合三角恒等式求解角度。

解题思路：

  1. 利用余弦定理：将已知条件中的$\cos C$用边长表示，代入方程化简得到关于$b$和$c$的关系式。
  2. 引入正弦定理：将边长转化为角的正弦形式，结合三角恒等式推导出关于角$A$的方程。
  3. 验证特殊角：通过尝试特殊角（如$A = \frac{\pi}{3}$），验证方程是否成立，从而确定角$A$的值。

破题关键：通过余弦定理将$\cos C$代入方程，结合正弦定理将边角关系转化为三角恒等式，最终通过特殊角验证求解。

步骤1：利用余弦定理化简条件

已知$3\cos C + \frac{1}{2}c = b$，且$a = 3$。根据余弦定理：
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{9 + b^2 - c^2}{6b}$
代入原方程：
$3 \cdot \frac{9 + b^2 - c^2}{6b} + \frac{1}{2}c = b$
化简得：
$\frac{9 + b^2 - c^2}{2b} + \frac{1}{2}c = b$
两边乘以$2b$：
$9 + b^2 - c^2 + bc = 2b^2 \implies b^2 + c^2 - bc = 9$

步骤2：引入正弦定理

设$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$，则$b = k \sin B$，$c = k \sin C$。代入$b^2 + c^2 - bc = 9$：
$k^2 (\sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C) = 9$
由$k = \frac{3}{\sin A}$，得：
$\frac{9}{\sin^2 A} (\sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C) = 9 \implies \sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C = \sin^2 A$

步骤3：验证特殊角$A = \frac{\pi}{3}$

假设$A = \frac{\pi}{3}$，则$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sin^2 A = \frac{3}{4}$。此时$B + C = \frac{2\pi}{3}$，利用三角恒等式展开$\sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C$，最终可得：
$\sin^2 B + \sin^2 C - \sin B \sin C = \frac{3}{4}$
与$\sin^2 A$相等，验证成立。因此，角$A$的值为$\frac{\pi}{3}$。