(9分)求下图周期性锯齿波(t)=dfrac (2)(T)t-|||-(-dfrac (T)(2)leqslant tleqslant dfrac (T)(2))的傅立叶级数,并绘出其频谱图。(t)=dfrac (2)(T)t-|||-(-dfrac (T)(2)leqslant tleqslant dfrac (T)(2))

步骤 1：确定傅立叶级数的系数
傅立叶级数的系数可以通过傅立叶系数公式计算。对于周期函数$x(t)$，傅立叶系数$a_n$和$b_n$分别由以下公式给出：
$$
a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \cos(n\omega_0 t) dt
$$
$$
b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} x(t) \sin(n\omega_0 t) dt
$$
其中，$\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$是基频。

步骤 2：计算傅立叶系数
对于给定的周期性锯齿波$x(t)=\dfrac {2}{T}t$，我们首先计算$a_n$和$b_n$。
由于$x(t)$是奇函数，所以$a_n=0$。
计算$b_n$：
$$
b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \frac{2}{T} t \sin(n\omega_0 t) dt
$$
$$
b_n = \frac{4}{T^2} \int_{-T/2}^{T/2} t \sin(n\omega_0 t) dt
$$
由于$x(t)$是奇函数，积分区间是对称的，所以积分可以简化为：
$$
b_n = \frac{8}{T^2} \int_{0}^{T/2} t \sin(n\omega_0 t) dt
$$
使用分部积分法计算积分：
$$
b_n = \frac{8}{T^2} \left[ -\frac{t}{n\omega_0} \cos(n\omega_0 t) \Big|_0^{T/2} + \frac{1}{n\omega_0} \int_{0}^{T/2} \cos(n\omega_0 t) dt \right]
$$
$$
b_n = \frac{8}{T^2} \left[ -\frac{T/2}{n\omega_0} \cos(n\omega_0 T/2) + \frac{1}{n\omega_0} \frac{\sin(n\omega_0 t)}{n\omega_0} \Big|_0^{T/2} \right]
$$
$$
b_n = \frac{8}{T^2} \left[ -\frac{T/2}{n\omega_0} \cos(n\pi) + \frac{1}{n^2\omega_0^2} \sin(n\pi) \right]
$$
由于$\sin(n\pi)=0$，所以：
$$
b_n = \frac{8}{T^2} \left[ -\frac{T/2}{n\omega_0} \cos(n\pi) \right]
$$
$$
b_n = -\frac{4}{n\pi} \cos(n\pi)
$$
$$
b_n = \left \{ \begin{matrix} -\dfrac {4}{n\pi }\quad n=2k\\ \dfrac {4}{n\pi }\quad n=2k+1\end{matrix} \right.
$$

步骤 3：确定傅立叶级数
傅立叶级数为：
$$
x(t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(n\omega_0 t)
$$
$$
x(t) = \sum_{n=1}^{\infty} \left \{ \begin{matrix} -\dfrac {4}{n\pi }\quad n=2k\\ \dfrac {4}{n\pi }\quad n=2k+1\end{matrix} \right. \sin(n\omega_0 t)
$$

步骤 4：绘制频谱图
频谱图显示了傅立叶级数的系数$b_n$。对于奇数$n$，$b_n$为正，对于偶数$n$，$b_n$为负。因此，频谱图将显示在奇数频率处有正的峰值，在偶数频率处有负的峰值。