题目
2.计算下列极限:-|||-(1) lim _(xarrow 0)((1-x))^dfrac (1{x)} :-|||-(3) lim _(xarrow infty )((dfrac {1+x)(x))}^2x =-|||-(2) lim _(xarrow 0)((1+2x))^dfrac (1{x)} :-|||-(4) lim _(xarrow infty )((1-dfrac {1)(x))}^kx (k为正整数).
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1-x)}^{\dfrac {1}{x}}$
我们使用指数函数的性质和自然对数的定义来解决这个问题。首先，我们设 $y = (1-x)^{\frac{1}{x}}$，然后取对数得到 $\ln y = \frac{1}{x} \ln(1-x)$。接下来，我们计算 $\lim_{x \to 0} \ln y$，然后利用指数函数的连续性得到原极限。
步骤 2：计算 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {1}{x}}$
我们使用与步骤1类似的方法，设 $y = (1+2x)^{\frac{1}{x}}$，然后取对数得到 $\ln y = \frac{1}{x} \ln(1+2x)$。接下来，我们计算 $\lim_{x \to 0} \ln y$，然后利用指数函数的连续性得到原极限。
步骤 3：计算 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {1+x}{x})}^{2x}$
我们使用与步骤1类似的方法，设 $y = (\frac{1+x}{x})^{2x}$，然后取对数得到 $\ln y = 2x \ln(\frac{1+x}{x})$。接下来，我们计算 $\lim_{x \to \infty} \ln y$，然后利用指数函数的连续性得到原极限。
步骤 4：计算 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{x})}^{kx}$
我们使用与步骤1类似的方法，设 $y = (1-\frac{1}{x})^{kx}$，然后取对数得到 $\ln y = kx \ln(1-\frac{1}{x})$。接下来，我们计算 $\lim_{x \to \infty} \ln y$，然后利用指数函数的连续性得到原极限。
我们使用指数函数的性质和自然对数的定义来解决这个问题。首先，我们设 $y = (1-x)^{\frac{1}{x}}$，然后取对数得到 $\ln y = \frac{1}{x} \ln(1-x)$。接下来，我们计算 $\lim_{x \to 0} \ln y$，然后利用指数函数的连续性得到原极限。
步骤 2：计算 $\lim _{x\rightarrow 0}{(1+2x)}^{\dfrac {1}{x}}$
我们使用与步骤1类似的方法，设 $y = (1+2x)^{\frac{1}{x}}$，然后取对数得到 $\ln y = \frac{1}{x} \ln(1+2x)$。接下来，我们计算 $\lim_{x \to 0} \ln y$，然后利用指数函数的连续性得到原极限。
步骤 3：计算 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(\dfrac {1+x}{x})}^{2x}$
我们使用与步骤1类似的方法，设 $y = (\frac{1+x}{x})^{2x}$，然后取对数得到 $\ln y = 2x \ln(\frac{1+x}{x})$。接下来，我们计算 $\lim_{x \to \infty} \ln y$，然后利用指数函数的连续性得到原极限。
步骤 4：计算 $\lim _{x\rightarrow \infty }{(1-\dfrac {1}{x})}^{kx}$
我们使用与步骤1类似的方法，设 $y = (1-\frac{1}{x})^{kx}$，然后取对数得到 $\ln y = kx \ln(1-\frac{1}{x})$。接下来，我们计算 $\lim_{x \to \infty} \ln y$，然后利用指数函数的连续性得到原极限。