4、(7分)求幂级数 sum _(n=1)^infty dfrac ({(-1))^n}(n)((x-1))^n 的收敛域.

步骤 1：确定幂级数的一般形式
幂级数的一般形式为 $\sum _{n=1}^{\infty }a_n{(x-c)}^{n}$，其中 $a_n$ 是系数，$c$ 是中心点。对于给定的幂级数 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{n}{(x-1)}^{n}$，我们有 $a_n = \dfrac{{(-1)}^{n}}{n}$，$c = 1$。

步骤 2：应用比值判别法确定收敛半径
为了确定幂级数的收敛半径 $R$，我们使用比值判别法。比值判别法的公式为 $R = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right|$。对于给定的幂级数，我们有：
$$
R = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{\dfrac{{(-1)}^{n}}{n}}{\dfrac{{(-1)}^{n+1}}{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{{(-1)}^{n}}{n} \cdot \dfrac{n+1}{{(-1)}^{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{n+1}{n} \right| = 1
$$
因此，幂级数的收敛半径为 $R = 1$。

步骤 3：确定收敛区间
收敛区间为 $(c-R, c+R)$，即 $(1-1, 1+1) = (0, 2)$。接下来，我们需要检查端点 $x=0$ 和 $x=2$ 处的收敛性。

步骤 4：检查端点 $x=0$ 处的收敛性
当 $x=0$ 时，幂级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{n}{(0-1)}^{n} = \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{n}{(-1)}^{n} = \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$。这是一个调和级数，它是发散的。

步骤 5：检查端点 $x=2$ 处的收敛性
当 $x=2$ 时，幂级数变为 $\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{n}{(2-1)}^{n} = \sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {{(-1)}^{n}}{n}$。这是一个交错级数，根据莱布尼茨判别法，它是收敛的。