题目
19.记Sn为数列(an )的前n项和.已知 () dfrac (2{S)_(n)}(n)+n=2(a)_(n)+1.-|||-(1)证明:(an )是等差数列;-|||-(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：证明{an}是等差数列
由已知条件 $\dfrac {2{S}_{n}}{n}+n=2{a}_{n}+1$，可以得到 $2S_n = 2na_n + n - n^2$。
当n=1时，$2S_1 = 2a_1 + 1 - 1$，即$2a_1 = 2a_1$，成立。
当n≥2时，$2S_n = 2na_n + n - n^2$，$2S_{n-1} = 2(n-1)a_{n-1} + (n-1) - (n-1)^2$。
两式相减得$2a_n = 2na_n - 2(n-1)a_{n-1} + 1 - 2n + 1$，化简得$a_n - a_{n-1} = 1$。
因此，{an}是等差数列，公差为1。
步骤 2：求Sn的最小值
由a4,a7,a9成等比数列，得$a_7^2 = a_4 \cdot a_9$。
设首项为a1，公差为d，则$a_4 = a_1 + 3d$，$a_7 = a_1 + 6d$，$a_9 = a_1 + 8d$。
代入等比数列条件，得$(a_1 + 6d)^2 = (a_1 + 3d)(a_1 + 8d)$，化简得$a_1 = -10d$。
由步骤1知d=1，所以$a_1 = -10$。
因此，$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2} [-20 + (n-1)] = \frac{n}{2} (n-21)$。
求Sn的最小值，即求$\frac{n}{2} (n-21)$的最小值。
当n=10或11时，Sn取得最小值，最小值为$S_{10} = S_{11} = -78$。
由已知条件 $\dfrac {2{S}_{n}}{n}+n=2{a}_{n}+1$，可以得到 $2S_n = 2na_n + n - n^2$。
当n=1时，$2S_1 = 2a_1 + 1 - 1$，即$2a_1 = 2a_1$，成立。
当n≥2时，$2S_n = 2na_n + n - n^2$，$2S_{n-1} = 2(n-1)a_{n-1} + (n-1) - (n-1)^2$。
两式相减得$2a_n = 2na_n - 2(n-1)a_{n-1} + 1 - 2n + 1$，化简得$a_n - a_{n-1} = 1$。
因此，{an}是等差数列，公差为1。
步骤 2：求Sn的最小值
由a4,a7,a9成等比数列，得$a_7^2 = a_4 \cdot a_9$。
设首项为a1，公差为d，则$a_4 = a_1 + 3d$，$a_7 = a_1 + 6d$，$a_9 = a_1 + 8d$。
代入等比数列条件，得$(a_1 + 6d)^2 = (a_1 + 3d)(a_1 + 8d)$，化简得$a_1 = -10d$。
由步骤1知d=1，所以$a_1 = -10$。
因此，$S_n = \frac{n}{2} [2a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2} [-20 + (n-1)] = \frac{n}{2} (n-21)$。
求Sn的最小值，即求$\frac{n}{2} (n-21)$的最小值。
当n=10或11时，Sn取得最小值，最小值为$S_{10} = S_{11} = -78$。