设'(x)=arcsin ((x-1))^2 (0)=0, 求 (int )_(0)^1f(x)dx.

考查要点：本题主要考查分部积分法的应用以及变量替换技巧，结合定积分的计算。关键在于将原积分转化为与已知导数相关联的形式，并通过变量替换简化积分表达式。

解题思路：

1. 分部积分法：将原积分$\int_{0}^{1} f(x)dx$拆分为边界项和新的积分，利用已知的$f'(x)$表达式。
2. 变量替换：通过替换$t = x - 1$，将积分区间转换为对称区间，简化计算。
3. 对称性分析：利用奇偶函数的性质，将复杂积分转化为更易处理的形式。
4. 分部积分法的二次应用：对$\int \arcsin(v) dv$进行分部积分，最终得到闭合解。

步骤1：分部积分法拆分原积分

对$\int_{0}^{1} f(x)dx$使用分部积分法：
$\int_{0}^{1} f(x)dx = \left. x f(x) \right|_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x f'(x)dx$
其中，边界项$\left. x f(x) \right|_{0}^{1} = 1 \cdot f(1) - 0 \cdot f(0) = f(1)$，因此：
$\int_{0}^{1} f(x)dx = f(1) - \int_{0}^{1} x f'(x)dx$

步骤2：计算$f(1)$

由$f'(x) = \arcsin{(x-1)}^{2}$，积分得：
$f(1) = \int_{0}^{1} \arcsin{(x-1)}^{2} dx$
令$t = x - 1$，则积分变为：
$\int_{-1}^{0} \arcsin{t^{2}} dt = \int_{0}^{1} \arcsin{u^{2}} du \quad (u = -t)$

步骤3：处理$\int_{0}^{1} x f'(x)dx$

将积分$\int_{0}^{1} x \arcsin{(x-1)}^{2} dx$通过变量替换$t = x - 1$，得：
$\int_{-1}^{0} (t + 1) \arcsin{t^{2}} dt = \int_{-1}^{0} t \arcsin{t^{2}} dt + \int_{-1}^{0} \arcsin{t^{2}} dt$
进一步变量替换$u = -t$，得：
$\int_{0}^{1} u \arcsin{u^{2}} du + \int_{0}^{1} \arcsin{u^{2}} du = \int_{0}^{1} (u + 1) \arcsin{u^{2}} du$

步骤4：简化积分表达式

原积分变为：
$\int_{0}^{1} f(x)dx = \int_{0}^{1} \arcsin{u^{2}} du - \int_{0}^{1} u \arcsin{u^{2}} du = \int_{0}^{1} (1 - u) \arcsin{u^{2}} du$
令$v = u^{2}$，则积分进一步简化为：
$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \arcsin{v} dv$

步骤5：计算最终积分

对$\int \arcsin{v} dv$使用分部积分法，得：
$\int \arcsin{v} dv = v \arcsin{v} + \sqrt{1 - v^{2}} + C$
代入上下限$0$到$1$，结果为：
$\frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$