题目
13.利用展开定理,计算下列行列式的值:-|||-a 0 0 b-|||-: : :-|||-a b 0-|||-(6) _(6)= a 0 0 0 0 b 0 a 0 0 b o 0 0 a b 0 0 0 0 C d 0 0 0 C 0 0 d 0 C 0 0 0 0 d -|||-_(2n)=-|||-0 C d-|||-: :-|||-c 0 0
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定行列式展开的规律
观察行列式${D}_{2n}$的结构，可以发现它是一个对角线元素为$a$和$b$，且$a$和$b$交替出现的行列式。同时，行列式中除了对角线元素外，还有两个元素$c$和$d$，它们也交替出现，但位置在对角线的下方和上方。
步骤 2：利用展开定理计算${D}_{6}$
对于${D}_{6}$，我们可以通过展开定理，选择第一行或第一列进行展开。这里选择第一行进行展开，因为第一行只有一个非零元素$a$。展开后，${D}_{6}$可以分解为两个较小的行列式，这两个行列式分别是${D}_{4}$和${D}_{2}$。根据行列式的性质，${D}_{6}={(ad-bc)}^{3}$。
步骤 3：推广到${D}_{2n}$
对于${D}_{2n}$，我们可以通过递归的方式，将${D}_{2n}$分解为${D}_{2n-2}$和${D}_{2n-4}$，以此类推，直到分解为${D}_{2}$。根据行列式的性质，${D}_{2n}={(ad-bc)}^{n}$。
观察行列式${D}_{2n}$的结构，可以发现它是一个对角线元素为$a$和$b$，且$a$和$b$交替出现的行列式。同时，行列式中除了对角线元素外，还有两个元素$c$和$d$，它们也交替出现，但位置在对角线的下方和上方。
步骤 2：利用展开定理计算${D}_{6}$
对于${D}_{6}$，我们可以通过展开定理，选择第一行或第一列进行展开。这里选择第一行进行展开，因为第一行只有一个非零元素$a$。展开后，${D}_{6}$可以分解为两个较小的行列式，这两个行列式分别是${D}_{4}$和${D}_{2}$。根据行列式的性质，${D}_{6}={(ad-bc)}^{3}$。
步骤 3：推广到${D}_{2n}$
对于${D}_{2n}$，我们可以通过递归的方式，将${D}_{2n}$分解为${D}_{2n-2}$和${D}_{2n-4}$，以此类推，直到分解为${D}_{2}$。根据行列式的性质，${D}_{2n}={(ad-bc)}^{n}$。