设f(x)对任意实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(x)在x=0连续,证明:f(x)在R上连续.

步骤 1：利用已知条件
已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(x)在x=0处连续，即$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)$。

步骤 2：证明f(0)=0
由于f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得到f(0)=f(0)+f(0)，即2f(0)=f(0)，从而f(0)=0。

步骤 3：证明f(x)在任意点x0处连续
任取x0∈R，考虑$\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)$。由于f(x)在x=0处连续，即$\lim _{x\rightarrow 0}f(x)=f(0)=0$，则$\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x)=\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x-{x}_{0}+{x}_{0})=\lim _{x\rightarrow {x}_{0}}f(x-{x}_{0})+f({x}_{0})=f(0)+f({x}_{0})=f({x}_{0})$。因此，f(x)在x0处连续。

步骤 4：结论
由于x0是任意的，所以f(x)在R上连续。