题目
4.把 ln (4-9(x)^2) 展开为的幂级数,其收敛半径 '= 、
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用对数的性质展开 $\ln (4-9{x}^{2})$
$\ln (4-9{x}^{2}) = \ln [(2-3x)(2+3x)] = \ln (2-3x) + \ln (2+3x)$
步骤 2：将 $\ln (2-3x)$ 和 $\ln (2+3x)$ 展开为幂级数
$\ln (2-3x) = \ln 2 + \ln (1-\frac{3}{2}x) = \ln 2 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \left(\frac{3}{2}x\right)^n$
$\ln (2+3x) = \ln 2 + \ln (1+\frac{3}{2}x) = \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \left(\frac{3}{2}x\right)^n$
步骤 3：将两个幂级数相加
$\ln (4-9{x}^{2}) = 2\ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[(-1)^{n+1} - 1\right] \frac{1}{n} \left(\frac{3}{2}x\right)^n$
步骤 4：确定幂级数的收敛半径
幂级数的收敛半径由 $\left|\frac{3}{2}x\right| < 1$ 确定，即 $|x| < \frac{2}{3}$，因此收敛半径 $R' = \frac{2}{3}$。
$\ln (4-9{x}^{2}) = \ln [(2-3x)(2+3x)] = \ln (2-3x) + \ln (2+3x)$
步骤 2：将 $\ln (2-3x)$ 和 $\ln (2+3x)$ 展开为幂级数
$\ln (2-3x) = \ln 2 + \ln (1-\frac{3}{2}x) = \ln 2 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \left(\frac{3}{2}x\right)^n$
$\ln (2+3x) = \ln 2 + \ln (1+\frac{3}{2}x) = \ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n} \left(\frac{3}{2}x\right)^n$
步骤 3：将两个幂级数相加
$\ln (4-9{x}^{2}) = 2\ln 2 + \sum_{n=1}^{\infty} \left[(-1)^{n+1} - 1\right] \frac{1}{n} \left(\frac{3}{2}x\right)^n$
步骤 4：确定幂级数的收敛半径
幂级数的收敛半径由 $\left|\frac{3}{2}x\right| < 1$ 确定，即 $|x| < \frac{2}{3}$，因此收敛半径 $R' = \frac{2}{3}$。