求函数=(x)^2+2xy+3(y)^2-4x-|||-__的极值

步骤 1：求函数$z=f(x,y)={x}^{2}+2xy+3{y}^{2}-4x$的一阶偏导数
对$x$求偏导数，得到${f}_{x}'(x,y)=2x+2y-4$；
对$y$求偏导数，得到${f}_{y}'(x,y)=2x+6y$。
步骤 2：联立方程${f}_{x}'(x,y)=0$和${f}_{y}'(x,y)=0$，求解驻点
联立方程组：
$$
\begin{cases}
2x+2y-4=0 \\
2x+6y=0
\end{cases}
$$
解得驻点为$(3,-1)$。
步骤 3：求二阶偏导数，并计算$AC-B^2$
$A={f}_{xx}'(x,y)=2$，将驻点$(3,-1)$代入得到$A=2$；
$B={f}_{xy}'(x,y)=2$，将驻点$(3,-1)$代入得到$B=2$；
$C={f}_{yy}'(x,y)=6$，将驻点$(3,-1)$代入得到$C=6$。
计算$AC-B^2=2*6-2^2=8>0$，说明驻点$(3,-1)$是极值点。
步骤 4：判断极值点的性质
由于$A=2>0$，所以驻点$(3,-1)$是极小值点。
步骤 5：计算极小值
将驻点$(3,-1)$代入原函数$z=f(x,y)={x}^{2}+2xy+3{y}^{2}-4x$，得到极小值$z=f(3,-1)=-6$。