求函数=(x)^2+2xy+3(y)^2-4x-|||-__的极值

考查要点：本题主要考查二元函数极值的求解方法，包括驻点的求解和极值的判定。

解题思路：

1. 求一阶偏导数，联立方程组解出驻点；
2. 计算二阶偏导数，构造判别式 $AC - B^2$；
3. 根据判别式符号及 $A$ 的符号判断驻点是否为极值点，进而求出极值。

关键点：

• 驻点是极值存在的必要条件，需通过偏导数为零的方程组求解；
• 二阶偏导数的组合判别法是判定极值的关键，需准确计算 $A, B, C$ 的值。

1. 求一阶偏导数

函数 $z = x^2 + 2xy + 3y^2 - 4x$ 的一阶偏导数为：
$\begin{aligned}f_x &= 2x + 2y - 4, \\f_y &= 2x + 6y.\end{aligned}$

2. 求驻点

联立方程 $f_x = 0$ 和 $f_y = 0$：
$\begin{cases}2x + 2y - 4 = 0, \\2x + 6y = 0.\end{cases}$
解得驻点为 $(3, -1)$。

3. 计算二阶偏导数

$\begin{aligned}f_{xx} &= 2, \\f_{xy} &= 2, \\f_{yy} &= 6.\end{aligned}$

4. 极值判定

在驻点 $(3, -1)$ 处：
$A = f_{xx} = 2, \quad B = f_{xy} = 2, \quad C = f_{yy} = 6.$
判别式：
$AC - B^2 = 2 \times 6 - 2^2 = 8 > 0,$
且 $A > 0$，故 $(3, -1)$ 是极小值点。

5. 计算极小值

将 $(3, -1)$ 代入原函数：
$f(3, -1) = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot (-1) + 3 \cdot (-1)^2 - 4 \cdot 3 = -6.$