题目
积分int dfrac (cos z)({(pi -z))^3}dz=______
积分
=______
题目解答
答案
被积函数
在
处有一个三阶极点。
根据留数定理，积分的值等于
乘以函数在极点处的留数。
可以使用洛必达法则来求留数：
所以，积分的值为
.
解析
步骤 1：确定被积函数的极点
被积函数$f(z)=\dfrac {\cos z}{{(\pi -z)}^{3}}$在$z=\pi $处有一个三阶极点。
步骤 2：计算留数
根据留数定理，积分的值等于$2\pi i$乘以函数在极点处的留数。
可以使用洛必达法则来求留数：
$\lim _{z\rightarrow \pi }\dfrac {{d}^{2}}{d{z}^{2}}({(z-\pi )}^{3}\dfrac {\cos z}{{(\pi -z)}^{3}})=\lim _{z\rightarrow \pi }\dfrac {{d}^{2}}{d{z}^{2}}\cos z=-\cos \pi =1$
步骤 3：计算积分值
根据留数定理，积分的值为$2\pi i\times 1=2\pi i$.
被积函数$f(z)=\dfrac {\cos z}{{(\pi -z)}^{3}}$在$z=\pi $处有一个三阶极点。
步骤 2：计算留数
根据留数定理，积分的值等于$2\pi i$乘以函数在极点处的留数。
可以使用洛必达法则来求留数：
$\lim _{z\rightarrow \pi }\dfrac {{d}^{2}}{d{z}^{2}}({(z-\pi )}^{3}\dfrac {\cos z}{{(\pi -z)}^{3}})=\lim _{z\rightarrow \pi }\dfrac {{d}^{2}}{d{z}^{2}}\cos z=-\cos \pi =1$
步骤 3：计算积分值
根据留数定理，积分的值为$2\pi i\times 1=2\pi i$.