题目
把长度为a的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率?
把长度为a的棒任意折成三段，求它们可以构成一个三角形的概率?
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义变量和条件
设将长度为a的木棒任意折成三段的长分别为x, y, a-x-y,则(x,y)满足的条件为 $\left \{ \begin{matrix} 0\leqslant x\leqslant a,\\ 0\leqslant y\leqslant a,\\ 0\leqslant x+y\leqslant a\end{matrix} \right.$。这些条件定义了(x,y)的可行区域，即一个直角三角形区域，顶点为(0,0)，(a,0)，(0,a)。
步骤 2：定义事件M
设事件 $M=\{ $ 能构成一个三角形}。根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，因此，当(x,y)满足下列条件时，事件M发生： $\left \{ \begin{matrix} x+y\gt a-x-y\\ x+a-x-y\gt y\\ y+a-x-y\gt x\end{matrix} \right.$，即 $\left \{ \begin{matrix} x+y\geqslant \dfrac {a}{2}\\ y\lt \dfrac {a}{2},\\ x\lt \dfrac {a}{2}.\end{matrix} \right.$。这些条件定义了(x,y)的可行区域，即一个直角三角形区域，顶点为(0,0)，(a/2,0)，(0,a/2)。
步骤 3：计算概率
事件M发生的概率等于事件M的可行区域的面积除以总可行区域的面积。总可行区域的面积为直角三角形AOB的面积，即 $\dfrac{1}{2}a^2$。事件M的可行区域的面积为直角三角形的面积，即 $\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{2})^2$。因此，事件M发生的概率为 $\dfrac{\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{2})^2}{\dfrac{1}{2}a^2} = \dfrac{1}{4}$。
设将长度为a的木棒任意折成三段的长分别为x, y, a-x-y,则(x,y)满足的条件为 $\left \{ \begin{matrix} 0\leqslant x\leqslant a,\\ 0\leqslant y\leqslant a,\\ 0\leqslant x+y\leqslant a\end{matrix} \right.$。这些条件定义了(x,y)的可行区域，即一个直角三角形区域，顶点为(0,0)，(a,0)，(0,a)。
步骤 2：定义事件M
设事件 $M=\{ $ 能构成一个三角形}。根据三角形的性质，任意两边之和大于第三边，因此，当(x,y)满足下列条件时，事件M发生： $\left \{ \begin{matrix} x+y\gt a-x-y\\ x+a-x-y\gt y\\ y+a-x-y\gt x\end{matrix} \right.$，即 $\left \{ \begin{matrix} x+y\geqslant \dfrac {a}{2}\\ y\lt \dfrac {a}{2},\\ x\lt \dfrac {a}{2}.\end{matrix} \right.$。这些条件定义了(x,y)的可行区域，即一个直角三角形区域，顶点为(0,0)，(a/2,0)，(0,a/2)。
步骤 3：计算概率
事件M发生的概率等于事件M的可行区域的面积除以总可行区域的面积。总可行区域的面积为直角三角形AOB的面积，即 $\dfrac{1}{2}a^2$。事件M的可行区域的面积为直角三角形的面积，即 $\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{2})^2$。因此，事件M发生的概率为 $\dfrac{\dfrac{1}{2}(\dfrac{a}{2})^2}{\dfrac{1}{2}a^2} = \dfrac{1}{4}$。