题目
(6)y=ln[ln(ln x)]
(6)$y=\ln[\ln(\ln x)]$
题目解答
答案
设 $ u = \ln(\ln x) $，则 $ y = \ln u $。
应用链式法则：
\[
y' = \frac{1}{u} \cdot u'
\]
其中，
\[
u' = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x}
\]
代入得：
\[
y' = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{x \ln x} = \frac{1}{x \ln x \ln(\ln x)}
\]
**答案：**
\[
\boxed{\frac{1}{x \ln x \ln(\ln x)}}
\]
解析
步骤 1：定义中间变量
设 $ u = \ln(\ln x) $，则 $ y = \ln u $。这样，我们可以通过链式法则来求导。
步骤 2：应用链式法则
根据链式法则，$ y' = \frac{1}{u} \cdot u' $。其中，$ u' $ 是 $ u $ 对 $ x $ 的导数。
步骤 3：计算 $ u' $
$ u = \ln(\ln x) $，所以 $ u' = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x} $。
步骤 4：代入 $ u' $ 并简化
将 $ u' $ 代入链式法则的公式中，得到 $ y' = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{x \ln x} = \frac{1}{x \ln x \ln(\ln x)} $。
设 $ u = \ln(\ln x) $，则 $ y = \ln u $。这样，我们可以通过链式法则来求导。
步骤 2：应用链式法则
根据链式法则，$ y' = \frac{1}{u} \cdot u' $。其中，$ u' $ 是 $ u $ 对 $ x $ 的导数。
步骤 3：计算 $ u' $
$ u = \ln(\ln x) $，所以 $ u' = \frac{1}{\ln x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln x} $。
步骤 4：代入 $ u' $ 并简化
将 $ u' $ 代入链式法则的公式中，得到 $ y' = \frac{1}{\ln(\ln x)} \cdot \frac{1}{x \ln x} = \frac{1}{x \ln x \ln(\ln x)} $。