题目
若(0)=0, lim _(xarrow 0)dfrac (f(2x))(x)=4, 则 '(0)=
若
题目解答
答案
解：
∵
∴对极限变形有：
∴
解析
步骤 1：理解给定条件
给定条件为 $f(0)=0$ 和 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)}{x}=4$。我们需要利用这些条件来求出 $f'(0)$。
步骤 2：利用极限定义求导数
根据导数的定义，$f'(0)$ 可以表示为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0}$。由于 $f(0)=0$，这个表达式简化为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}$。
步骤 3：将给定的极限条件与导数定义联系起来
给定的极限条件是 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)}{x}=4$。为了将这个条件与导数定义联系起来，我们可以将 $x$ 替换为 $2x$，从而得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)}{2x} \cdot 2 = 4$。这可以进一步简化为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)}{2x} = 2$。由于 $2x$ 在 $x$ 趋向于 $0$ 时也趋向于 $0$，我们可以将 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)}{2x}$ 看作是 $f'(0)$ 的定义，因此 $f'(0) = 2$。
给定条件为 $f(0)=0$ 和 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)}{x}=4$。我们需要利用这些条件来求出 $f'(0)$。
步骤 2：利用极限定义求导数
根据导数的定义，$f'(0)$ 可以表示为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)-f(0)}{x-0}$。由于 $f(0)=0$，这个表达式简化为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(x)}{x}$。
步骤 3：将给定的极限条件与导数定义联系起来
给定的极限条件是 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)}{x}=4$。为了将这个条件与导数定义联系起来，我们可以将 $x$ 替换为 $2x$，从而得到 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)}{2x} \cdot 2 = 4$。这可以进一步简化为 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)}{2x} = 2$。由于 $2x$ 在 $x$ 趋向于 $0$ 时也趋向于 $0$，我们可以将 $\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {f(2x)}{2x}$ 看作是 $f'(0)$ 的定义，因此 $f'(0) = 2$。