若(0)=0, lim _(xarrow 0)dfrac (f(2x))(x)=4, 则 '(0)=

考查要点：本题主要考查导数的定义及其应用，以及极限的变形技巧。
解题核心思路：将已知极限条件与导数的定义式联系起来，通过变量替换或变形，将问题转化为导数的计算。
破题关键点：

1. 识别导数的结构：观察到极限形式与导数定义式相似，但变量为$2x$而非$x$，需通过变形统一变量。
2. 极限变形：将$\lim_{x \to 0} \frac{f(2x)}{x}$转化为与$f'(0)$相关的表达式，利用$f(0)=0$简化分子。

步骤1：关联导数定义
根据导数定义，$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$。题目中给出$\lim_{x \to 0} \frac{f(2x)}{x} = 4$，且$f(0)=0$，因此分子可改写为$f(2x) - f(0)$。

步骤2：变形极限表达式
将原极限改写为：
$\lim_{x \to 0} \frac{f(2x) - f(0)}{x} = 4.$
将分母$x$拆分为$2x \cdot 2$，即：
$\lim_{x \to 0} \left( \frac{f(2x) - f(0)}{2x} \cdot 2 \right) = 4.$

步骤3：提取导数
注意到$\lim_{x \to 0} \frac{f(2x) - f(0)}{2x} = f'(0)$（因$2x \to 0$），代入得：
$2f'(0) = 4 \quad \Rightarrow \quad f'(0) = 2.$