一大楼装有5个同类型的供水设备.调查表明在任一时刻，每个设备被使用的概率为0.1,问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少?（2）至少有3个设备被使用的概率是多少?（3）至多有3个设备被使用的概率是多少?（4）至少有一个设备被使用的概率是多少?

步骤 1：确定二项分布的参数
- n = 5（设备数量）
- p = 0.1（每个设备被使用的概率）
- q = 1 - p = 0.9（每个设备未被使用的概率）

步骤 2：计算恰有2个设备被使用的概率
- 使用二项分布公式：$P(X=k) = C(n, k) \times p^k \times q^{n-k}$
- 其中，$C(n, k)$是组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的组合数。
- 对于k=2，$P(X=2) = C(5, 2) \times 0.1^2 \times 0.9^{5-2}$
- 计算组合数$C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10$
- 因此，$P(X=2) = 10 \times 0.1^2 \times 0.9^3 = 0.0729$

步骤 3：计算至少有3个设备被使用的概率
- 这个概率等于3个、4个或5个设备被使用的概率之和。
- $P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$
- 分别计算每个概率并相加。
- $P(X=3) = C(5, 3) \times 0.1^3 \times 0.9^2 = 10 \times 0.1^3 \times 0.9^2 = 0.0081$
- $P(X=4) = C(5, 4) \times 0.1^4 \times 0.9^1 = 5 \times 0.1^4 \times 0.9 = 0.00045$
- $P(X=5) = C(5, 5) \times 0.1^5 \times 0.9^0 = 1 \times 0.1^5 = 0.00001$
- 因此，$P(X \geq 3) = 0.0081 + 0.00045 + 0.00001 = 0.00856$

步骤 4：计算至多有3个设备被使用的概率
- 这个概率等于0个、1个、2个或3个设备被使用的概率之和。
- $P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$
- 分别计算每个概率并相加。
- $P(X=0) = C(5, 0) \times 0.1^0 \times 0.9^5 = 1 \times 0.9^5 = 0.59049$
- $P(X=1) = C(5, 1) \times 0.1^1 \times 0.9^4 = 5 \times 0.1 \times 0.9^4 = 0.32805$
- $P(X=2) = 0.0729$（已计算）
- $P(X=3) = 0.0081$（已计算）
- 因此，$P(X \leq 3) = 0.59049 + 0.32805 + 0.0729 + 0.0081 = 0.99954$

步骤 5：计算至少有一个设备被使用的概率
- 这个概率等于1减去没有设备被使用的概率。
- $P(X \geq 1) = 1 - P(X=0)$
- $P(X=0) = 0.59049$（已计算）
- 因此，$P(X \geq 1) = 1 - 0.59049 = 0.40951$