题目
(10)设域 :(x)^2+(y)^2leqslant 1, f是域D上的连续函数,则 iint int (sqrt ({x)^2+(y)^2})dxdy= () .-|||-(A) pi (int )_(0)^1rf(r)dr (B) pi (int )_(0)^1rf(r)dr-|||-(C) pi (int )_(0)^1f((r)^2)dr (D) pi (int )_(0)^rrf(r)dr
题目解答
答案
解析
步骤 1：转换为极坐标
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdrd\theta$。因此，原积分可以写为：
$$\iint f(\sqrt{x^2 + y^2})dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} f(r) r dr d\theta$$
步骤 2：计算积分
由于$f(r)$是$r$的函数，因此可以将积分分为两部分，先对$r$积分，再对$\theta$积分。由于$\theta$的积分范围是$0$到$2\pi$，因此：
$$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} f(r) r dr d\theta = 2\pi \int_{0}^{1} f(r) r dr$$
将直角坐标系下的积分转换为极坐标系下的积分。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdrd\theta$。因此，原积分可以写为：
$$\iint f(\sqrt{x^2 + y^2})dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} f(r) r dr d\theta$$
步骤 2：计算积分
由于$f(r)$是$r$的函数，因此可以将积分分为两部分，先对$r$积分，再对$\theta$积分。由于$\theta$的积分范围是$0$到$2\pi$，因此：
$$\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} f(r) r dr d\theta = 2\pi \int_{0}^{1} f(r) r dr$$