题目
有两箱同种类型的零件．第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品．今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样，试求：（1）第一次取到的零件是一等品的概率；（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率．
有两箱同种类型的零件．第一箱装50只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品．今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样，试求：
（1）第一次取到的零件是一等品的概率；
（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率．
（1）第一次取到的零件是一等品的概率；
（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率．
题目解答
答案
解：记事件A=“从第一箱中取零件”，事件B=“从第二箱中取零件”，事件Ci=“第i次从箱中取到的零件是一等品”，i=1，2；
则由题意知，P（A）=P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C1|A）=$\frac{10}{50}$=$\frac{1}{5}$，P（C1|B）=$\frac{18}{30}$=$\frac{3}{5}$，
（1）P（C1）=P（C1|A）P（A）+P（C1|B）P（B）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{5}$，
（2）P（C1C2|A）=$\frac{10}{50}$×$\frac{9}{49}$=$\frac{1}{5}$×$\frac{9}{49}$，P（C1C2|B）=$\frac{3}{5}$×$\frac{17}{29}$，
P（C2|C1）=$\frac{P（{C}_{1}{C}_{2}）}{P（{C}_{1}）}$
=$\frac{1}{P（{C}_{1}）}$×（P（C1C2|A）×P（A）+P（C1C2|B）×P（B））
=$\frac{5}{2}$×（$\frac{1}{5}$×$\frac{9}{49}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{17}{29}$×$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$×（$\frac{9}{49}$+$\frac{51}{29}$）=0.4856．
则由题意知，P（A）=P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C1|A）=$\frac{10}{50}$=$\frac{1}{5}$，P（C1|B）=$\frac{18}{30}$=$\frac{3}{5}$，
（1）P（C1）=P（C1|A）P（A）+P（C1|B）P（B）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{5}$，
（2）P（C1C2|A）=$\frac{10}{50}$×$\frac{9}{49}$=$\frac{1}{5}$×$\frac{9}{49}$，P（C1C2|B）=$\frac{3}{5}$×$\frac{17}{29}$，
P（C2|C1）=$\frac{P（{C}_{1}{C}_{2}）}{P（{C}_{1}）}$
=$\frac{1}{P（{C}_{1}）}$×（P（C1C2|A）×P（A）+P（C1C2|B）×P（B））
=$\frac{5}{2}$×（$\frac{1}{5}$×$\frac{9}{49}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{17}{29}$×$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$×（$\frac{9}{49}$+$\frac{51}{29}$）=0.4856．
解析
步骤 1：定义事件
记事件A=“从第一箱中取零件”，事件B=“从第二箱中取零件”，事件C_i=“第i次从箱中取到的零件是一等品”，i=1，2；
步骤 2：计算条件概率
由题意知，P（A）=P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C_1|A）=$\frac{10}{50}$=$\frac{1}{5}$，P（C_1|B）=$\frac{18}{30}$=$\frac{3}{5}$，
步骤 3：计算第一次取到一等品的概率
P（C_1）=P（C_1|A）P（A）+P（C_1|B）P（B）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{5}$，
步骤 4：计算第一次和第二次都取到一等品的概率
P（C_1C_2|A）=$\frac{10}{50}$×$\frac{9}{49}$=$\frac{1}{5}$×$\frac{9}{49}$，P（C_1C_2|B）=$\frac{3}{5}$×$\frac{17}{29}$，
步骤 5：计算在第一次取到一等品的条件下，第二次也取到一等品的概率
P（C_2|C_1）=$\frac{P（{C}_{1}{C}_{2}）}{P（{C}_{1}）}$
=$\frac{1}{P（{C}_{1}）}$×（P（C_1C_2|A）×P（A）+P（C_1C_2|B）×P（B））
=$\frac{5}{2}$×（$\frac{1}{5}$×$\frac{9}{49}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{17}{29}$×$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$×（$\frac{9}{49}$+$\frac{51}{29}$）=0.4856．
记事件A=“从第一箱中取零件”，事件B=“从第二箱中取零件”，事件C_i=“第i次从箱中取到的零件是一等品”，i=1，2；
步骤 2：计算条件概率
由题意知，P（A）=P（B）=$\frac{1}{2}$，P（C_1|A）=$\frac{10}{50}$=$\frac{1}{5}$，P（C_1|B）=$\frac{18}{30}$=$\frac{3}{5}$，
步骤 3：计算第一次取到一等品的概率
P（C_1）=P（C_1|A）P（A）+P（C_1|B）P（B）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{5}$，
步骤 4：计算第一次和第二次都取到一等品的概率
P（C_1C_2|A）=$\frac{10}{50}$×$\frac{9}{49}$=$\frac{1}{5}$×$\frac{9}{49}$，P（C_1C_2|B）=$\frac{3}{5}$×$\frac{17}{29}$，
步骤 5：计算在第一次取到一等品的条件下，第二次也取到一等品的概率
P（C_2|C_1）=$\frac{P（{C}_{1}{C}_{2}）}{P（{C}_{1}）}$
=$\frac{1}{P（{C}_{1}）}$×（P（C_1C_2|A）×P（A）+P（C_1C_2|B）×P（B））
=$\frac{5}{2}$×（$\frac{1}{5}$×$\frac{9}{49}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{17}{29}$×$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$×（$\frac{9}{49}$+$\frac{51}{29}$）=0.4856．