计算下列极限lim _(xarrow 0)(x)^2sin dfrac (1)(x)lim _(xarrow 0)(x)^2sin dfrac (1)(x)

考查要点

1. 无穷小量与有界函数的乘积性质：当一个函数是无穷小量，另一个是有界函数时，它们的乘积仍是无穷小量。
2. 极限的求解方法：包括直接代入法、洛必达法则、夹逼定理等。

解题核心思路

• 第一题：利用 $x^2$ 在 $x \to 0$ 时为无穷小量，而 $\sin \frac{1}{x}$ 的绝对值不超过 1（有界），直接应用无穷小量与有界函数的乘积性质。
• 第二题：当 $x \to \infty$ 时，$\arctan x$ 趋近于 $\frac{\pi}{2}$，而分母 $x$ 趋近于无穷大，可通过 比较分子分母的增长速度 或 洛必达法则 求解。

第一题：$\lim _{x\rightarrow 0}{x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}$

分析函数性质

• $x^2$ 的行为：当 $x \to 0$ 时，$x^2 \to 0$，即 $x^2$ 是无穷小量。
• $\sin \frac{1}{x}$ 的行为：虽然 $\sin \frac{1}{x}$ 在 $x \to 0$ 时振荡，但其绝对值恒满足 $|\sin \frac{1}{x}| \leq 1$，即为有界函数。

应用乘积性质

根据 无穷小量与有界函数的乘积仍为无穷小量，可得：
$\lim _{x\rightarrow 0}{x}^{2}\sin \dfrac {1}{x} = 0.$

第二题：$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\arctan x}{x}$

方法一：直接比较增长速度

• 分子：当 $x \to \infty$ 时，$\arctan x \to \dfrac{\pi}{2}$（趋近于常数）。
• 分母：$x \to \infty$（线性增长）。
  因此，分子增长速度远慢于分母，整体极限为 $0$。

方法二：洛必达法则

原式为 $\dfrac{\infty}{\infty}$ 型不定式，可对分子分母分别求导：
$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac{d}{dx}(\arctan x)}{\dfrac{d}{dx}(x)} = \lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac{\dfrac{1}{1+x^2}}{1} = 0.$