计算下列极限lim _(xarrow 0)(x)^2sin dfrac (1)(x)lim _(xarrow 0)(x)^2sin dfrac (1)(x)

步骤 1：分析极限 $\lim _{x\rightarrow 0}{x}^{2}\sin \dfrac {1}{x}$
当 $x$ 趋近于 $0$ 时，${x}^{2}$ 趋近于 $0$，是一个无穷小量。同时，$\sin \dfrac {1}{x}$ 是一个有界函数，其值域在 $[-1, 1]$ 之间。根据无穷小量与有界函数的乘积仍然是无穷小量的性质，可以得出结论。

步骤 2：分析极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\arctan x}{x}$
当 $x$ 趋近于无穷大时，$\arctan x$ 趋近于 $\dfrac{\pi}{2}$，而 $x$ 趋近于无穷大。因此，$\dfrac {\arctan x}{x}$ 的极限可以通过洛必达法则求解，即对分子和分母分别求导，得到 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac {1}{1+{x}^{2}}}{1}$。

步骤 3：计算极限 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac {1}{1+{x}^{2}}}{1}$
当 $x$ 趋近于无穷大时，$1+{x}^{2}$ 趋近于无穷大，因此 $\dfrac {1}{1+{x}^{2}}$ 趋近于 $0$。所以，$\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {\dfrac {1}{1+{x}^{2}}}{1}=0$。