题目
指出下列关系中哪些成立，哪些不成立？（1）(A-B)+B=A；（2）(A-B)+B=A；（3）(A-B)+B=A；（4）(A-B)+B=A；（5）(A-B)+B=A.
指出下列关系中哪些成立，哪些不成立？
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
.
题目解答
答案
（1）
，则（1）不成立；
（2）
，则（2）不成立；
（3）
，则（3）成立；
（4）
，则（4）成立；
（5）
，则（5）成立.
解析
步骤 1：分析（1）(A-B)+B=A
(A-B)表示集合A中去掉集合B中的元素，即$A\cap \overline{B}$。因此，(A-B)+B表示$A\cap \overline{B}$与B的并集，即$(A\cap \overline{B})\cup B$。根据集合的分配律，$(A\cap \overline{B})\cup B=(A\cup B)\cap (\overline{B}\cup B)$。由于$\overline{B}\cup B=\Omega$（全集），所以$(A\cup B)\cap \Omega=A\cup B$。因此，(A-B)+B=A不成立。
步骤 2：分析（2）(A+B)-C=A+(B-C)
(A+B)表示集合A与集合B的并集，即$A\cup B$。因此，(A+B)-C表示$(A\cup B)\cap \overline{C}$。而A+(B-C)表示$A\cup (B\cap \overline{C})$。根据集合的分配律，$(A\cup B)\cap \overline{C}=(A\cap \overline{C})\cup (B\cap \overline{C})$。因此，(A+B)-C=A+(B-C)不成立。
步骤 3：分析（3）$A\cup B=(A\overline{B})\cup B$
$A\overline{B}$表示集合A中去掉集合B中的元素，即$A\cap \overline{B}$。因此，$(A\overline{B})\cup B=(A\cap \overline{B})\cup B$。根据集合的分配律，$(A\cap \overline{B})\cup B=(A\cup B)\cap (\overline{B}\cup B)$。由于$\overline{B}\cup B=\Omega$（全集），所以$(A\cup B)\cap \Omega=A\cup B$。因此，$A\cup B=(A\overline{B})\cup B$成立。
步骤 4：分析（4）$AB\cap (A\overline{B})=Q$
$AB$表示集合A与集合B的交集，即$A\cap B$。$A\overline{B}$表示集合A中去掉集合B中的元素，即$A\cap \overline{B}$。因此，$AB\cap (A\overline{B})=(A\cap B)\cap (A\cap \overline{B})=A\cap (B\cap \overline{B})=A\cap \varnothing=\varnothing$。因此，$AB\cap (A\overline{B})=Q$成立。
步骤 5：分析（5）$A-B=A-AB=A\overline{B}$
$A-B$表示集合A中去掉集合B中的元素，即$A\cap \overline{B}$。$A-AB$表示集合A中去掉集合AB中的元素，即$A\cap \overline{AB}$。$A\overline{B}$表示集合A中去掉集合B中的元素，即$A\cap \overline{B}$。因此，$A-B=A-AB=A\overline{B}$成立。
(A-B)表示集合A中去掉集合B中的元素，即$A\cap \overline{B}$。因此，(A-B)+B表示$A\cap \overline{B}$与B的并集，即$(A\cap \overline{B})\cup B$。根据集合的分配律，$(A\cap \overline{B})\cup B=(A\cup B)\cap (\overline{B}\cup B)$。由于$\overline{B}\cup B=\Omega$（全集），所以$(A\cup B)\cap \Omega=A\cup B$。因此，(A-B)+B=A不成立。
步骤 2：分析（2）(A+B)-C=A+(B-C)
(A+B)表示集合A与集合B的并集，即$A\cup B$。因此，(A+B)-C表示$(A\cup B)\cap \overline{C}$。而A+(B-C)表示$A\cup (B\cap \overline{C})$。根据集合的分配律，$(A\cup B)\cap \overline{C}=(A\cap \overline{C})\cup (B\cap \overline{C})$。因此，(A+B)-C=A+(B-C)不成立。
步骤 3：分析（3）$A\cup B=(A\overline{B})\cup B$
$A\overline{B}$表示集合A中去掉集合B中的元素，即$A\cap \overline{B}$。因此，$(A\overline{B})\cup B=(A\cap \overline{B})\cup B$。根据集合的分配律，$(A\cap \overline{B})\cup B=(A\cup B)\cap (\overline{B}\cup B)$。由于$\overline{B}\cup B=\Omega$（全集），所以$(A\cup B)\cap \Omega=A\cup B$。因此，$A\cup B=(A\overline{B})\cup B$成立。
步骤 4：分析（4）$AB\cap (A\overline{B})=Q$
$AB$表示集合A与集合B的交集，即$A\cap B$。$A\overline{B}$表示集合A中去掉集合B中的元素，即$A\cap \overline{B}$。因此，$AB\cap (A\overline{B})=(A\cap B)\cap (A\cap \overline{B})=A\cap (B\cap \overline{B})=A\cap \varnothing=\varnothing$。因此，$AB\cap (A\overline{B})=Q$成立。
步骤 5：分析（5）$A-B=A-AB=A\overline{B}$
$A-B$表示集合A中去掉集合B中的元素，即$A\cap \overline{B}$。$A-AB$表示集合A中去掉集合AB中的元素，即$A\cap \overline{AB}$。$A\overline{B}$表示集合A中去掉集合B中的元素，即$A\cap \overline{B}$。因此，$A-B=A-AB=A\overline{B}$成立。