题目
已知角θ的终边经过点P((sqrt(2)，-sqrt(7)))，则cos((θ+(π)/(3)))=( ) A. ((sqrt(6)+sqrt(7)))/(6) B. ((sqrt(6)-sqrt(7)))/(6) C. ((sqrt(2)-sqrt(21)))/(6) D. ((sqrt(2)+sqrt(21)))/(6)
已知角θ的终边经过点$P({\sqrt{2}，-\sqrt{7}})$，则$cos({θ+\frac{π}{3}})$=( )
- A. $\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{7}}}{6}$
- B. $\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{7}}}{6}$
- C. $\frac{{\sqrt{2}-\sqrt{21}}}{6}$
- D. $\frac{{\sqrt{2}+\sqrt{21}}}{6}$
题目解答
答案
解：∵角θ的终边经过点$P({\sqrt{2}，-\sqrt{7}})$，
∴sinθ=$\frac{-\sqrt{7}}{\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2}{+(-\sqrt{7})}^{2}}}$=$\frac{-\sqrt{7}}{3}$，
cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴$cos(θ+\frac{π}{3})$=$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{6}$+$\frac{\sqrt{21}}{6}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{21}}{6}$，
故选：D．
∴sinθ=$\frac{-\sqrt{7}}{\sqrt{{(\sqrt{2})}^{2}{+(-\sqrt{7})}^{2}}}$=$\frac{-\sqrt{7}}{3}$，
cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴$cos(θ+\frac{π}{3})$=$\frac{1}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ=$\frac{\sqrt{2}}{6}$+$\frac{\sqrt{21}}{6}$=$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{21}}{6}$，
故选：D．
解析
步骤 1：计算点P到原点的距离
点$P({\sqrt{2}，-\sqrt{7}})$到原点的距离$r$可以通过勾股定理计算得出，即$r=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-\sqrt{7})^2}=\sqrt{2+7}=\sqrt{9}=3$。
步骤 2：计算sinθ和cosθ
根据三角函数的定义，$sinθ=\frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{7}}{3}$，$cosθ=\frac{x}{r}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。
步骤 3：应用和角公式计算$cos({θ+\frac{π}{3}})$
根据和角公式，$cos({θ+\frac{π}{3}})=cosθcos\frac{π}{3}-sinθsin\frac{π}{3}$。将已知的$cosθ$和$sinθ$值代入，得到$cos({θ+\frac{π}{3}})=\frac{\sqrt{2}}{3}×\frac{1}{2}-\frac{-\sqrt{7}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{\sqrt{21}}{6}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{21}}{6}$。
点$P({\sqrt{2}，-\sqrt{7}})$到原点的距离$r$可以通过勾股定理计算得出，即$r=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(-\sqrt{7})^2}=\sqrt{2+7}=\sqrt{9}=3$。
步骤 2：计算sinθ和cosθ
根据三角函数的定义，$sinθ=\frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{7}}{3}$，$cosθ=\frac{x}{r}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。
步骤 3：应用和角公式计算$cos({θ+\frac{π}{3}})$
根据和角公式，$cos({θ+\frac{π}{3}})=cosθcos\frac{π}{3}-sinθsin\frac{π}{3}$。将已知的$cosθ$和$sinθ$值代入，得到$cos({θ+\frac{π}{3}})=\frac{\sqrt{2}}{3}×\frac{1}{2}-\frac{-\sqrt{7}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{6}+\frac{\sqrt{21}}{6}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{21}}{6}$。