题目
[题目]当 x→0 时,下列变量中是无穷小量的有-|||-()-|||-A. sin dfrac (1)(x)-|||-B. dfrac (sin x)(x)-|||-C. ^-x-1-|||-D.ln|x|

题目解答
答案

解析
考查要点:本题主要考查无穷小量的定义及其在不同函数中的应用。
解题核心思路:判断每个选项在$x \rightarrow 0$时的极限是否为0。
关键点:
- 无穷小量的定义:当$x \rightarrow x_0$时,函数$f(x)$的极限为0,则称$f(x)$是$x \rightarrow x_0$时的无穷小量。
- 特殊函数的极限性质:如$\sin x$的有界性、指数函数和对数函数的渐进行为。
选项A:$\sin \dfrac{1}{x}$
当$x \rightarrow 0$时,$\dfrac{1}{x}$在实数范围内震荡无限次,$\sin \dfrac{1}{x}$的值在$[-1, 1]$之间无限震荡,极限不存在,因此不是无穷小量。
选项B:$\dfrac{\sin x}{x}$
利用等价无穷小替换$\sin x \sim x$(当$x \rightarrow 0$时),得:
$\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x}{x} = 1 \neq 0$
因此,$\dfrac{\sin x}{x}$的极限为1,不是无穷小量。
选项C:$2^{-x} - 1$
当$x \rightarrow 0$时,$2^{-x} = e^{-x \ln 2} \approx 1 - x \ln 2$(泰勒展开),因此:
$2^{-x} - 1 \approx (1 - x \ln 2) - 1 = -x \ln 2 \rightarrow 0$
极限为0,是无穷小量。
选项D:$\ln |x|$
当$x \rightarrow 0$时,$|x| \rightarrow 0$,$\ln |x| \rightarrow -\infty$,极限不存在,因此不是无穷小量。