13、设Σ为球面x^2+y^2+z^2=a^2，取内侧，曲面积分 iintlimits_(Sigma)(x^3+xy)dydz+(y^3+yz)dzdx+(z^3+xz)dxdy= （A.）(12)/(5)pi a^5; （B.）-(12)/(5)pi a^5; （C.）-4pi a^5; （D.）0;

为了求解曲面积分 $\iint\limits_{\Sigma}(x^{3}+xy)dydz+(y^{3}+yz)dzdx+(z^{3}+xz)dxdy$，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ 的内侧，我们可以使用高斯公式。高斯公式将曲面积分转换为体积积分，公式为： \[ \iint\limits_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS = \iiint\limits_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV \] 其中 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$ 是一个向量场，$\mathbf{n}$ 是曲面的单位法向量，$V$ 是曲面所围成的体积，$\nabla \cdot \mathbf{F}$ 是向量场 $\mathbf{F}$ 的散度。 在本题中，$\mathbf{F} = (x^3 + xy, y^3 + yz, z^3 + xz)$。首先，我们计算 $\mathbf{F}$ 的散度： \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x^3 + xy) + \frac{\partial}{\partial y}(y^3 + yz) + \frac{\partial}{\partial z}(z^3 + xz) = 3x^2 + y + 3y^2 + z + 3z^2 + x = 3(x^2 + y^2 + z^2) + x + y + z \] 由于 $\Sigma$ 是球面的内侧，单位法向量 $\mathbf{n}$ 指向球面的内部，因此在高斯公式中，曲面积分的值将取相反的符号。所以，我们有： \[ \iint\limits_{\Sigma} (x^3 + xy)dydz + (y^3 + yz)dzdx + (z^3 + xz)dxdy = -\iiint\limits_{V} \left[ 3(x^2 + y^2 + z^2) + x + y + z \right] dV \] 接下来，我们计算体积积分。由于球面 $x^2 + y^2 + z^2 = a^2$ 关于 $x$-轴、$y$-轴和 $z$-轴都是对称的，因此 $x$、$y$ 和 $z$ 在球体上的积分都为零。即： \[ \iiint\limits_{V} x \, dV = \iiint\limits_{V} y \, dV = \iiint\limits_{V} z \, dV = 0 \] 所以，体积积分简化为： \[ -\iiint\limits_{V} \left[ 3(x^2 + y^2 + z^2) + x + y + z \right] dV = -\iiint\limits_{V} 3(x^2 + y^2 + z^2) \, dV \] 在球坐标系中，$x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2$，体积元素 $dV = \rho^2 \sin \theta \, d\rho \, d\theta \, d\phi$，球体的体积积分限为 $0 \leq \rho \leq a$，$0 \leq \theta \leq \pi$，$0 \leq \phi \leq 2\pi$。因此，体积积分为： \[ -\iiint\limits_{V} 3(x^2 + y^2 + z^2) \, dV = -3 \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^a \rho^4 \sin \theta \, d\rho \, d\theta \, d\phi \] 我们先对 $\rho$ 积分： \[ \int_0^a \rho^4 \, d\rho = \left[ \frac{\rho^5}{5} \right]_0^a = \frac{a^5}{5} \] 然后对 $\theta$ 积分： \[ \int_0^\pi \sin \theta \, d\theta = \left[ -\cos \theta \right]_0^\pi = -\cos \pi + \cos 0 = 2 \] 最后对 $\phi$ 积分： \[ \int_0^{2\pi} d\phi = \left[ \phi \right]_0^{2\pi} = 2\pi \] 将这些结果相乘，得到： \[ -3 \cdot \frac{a^5}{5} \cdot 2 \cdot 2\pi = -\frac{12}{5} \pi a^5 \] 因此，曲面积分的值为： \[ \boxed{-\frac{12}{5} \pi a^5} \] 所以，正确答案是 $\boxed{B}$。