497 设离散型随机变量X服从分布律 X=k =dfrac (C)(k!)(e)^-2 =0, 1,2,···,则常数C必为.-|||-(A)1. (B)e. (C) ^-1 (D) ^-2A、AB、BC、CD、D

考查要点：本题主要考查离散型随机变量分布律的归一性条件，即所有可能取值的概率之和等于1。关键在于识别概率表达式中的常数项，并通过求和公式求解未知常数。

解题核心思路：

1. 归一性条件：利用概率分布的总和为1，建立方程。
2. 求和公式：识别级数$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!}$的值为$e$，从而简化计算。

破题关键点：

• 分离常数：将与$k$无关的常数项（如$C$和$e^{-2}$）提取到求和符号外。
• 应用泰勒展开：利用$e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$，代入$x=1$得到$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$。

根据概率分布的归一性条件，所有$k$对应的概率之和为1：

$\sum_{k=0}^{\infty} P\{X=k\} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{C}{k!} e^{-2} = 1.$

步骤1：提取常数项
将与$k$无关的常数$C$和$e^{-2}$提取到求和符号外：

$C e^{-2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = 1.$

步骤2：计算级数和
根据泰勒展开公式，$\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e^{1} = e$，代入得：

$C e^{-2} \cdot e = 1.$

步骤3：解方程求$C$
化简方程：

$C e^{-1} = 1 \quad \Rightarrow \quad C = e.$