题目
497 设离散型随机变量X服从分布律 X=k =dfrac (C)(k!)(e)^-2 =0, 1,2,···,则常数C必为.-|||-(A)1. (B)e. (C) ^-1 (D) ^-2A、AB、BC、CD、D
- A、A
- B、B
- C、C
- D、D
题目解答
答案
B
解析
步骤 1：理解分布律
离散型随机变量X的分布律为 $P\{ X=k\} =\dfrac {C}{k!}{e}^{-2}$，其中k=0,1,2,···。这里C是一个待定的常数，而${e}^{-2}$是一个已知的常数。
步骤 2：利用概率之和为1的性质
由于X是一个离散型随机变量，其所有可能取值的概率之和必须等于1。因此，我们有：
$$\sum_{k=0}^{\infty} P\{ X=k\} = 1$$
代入分布律，得到：
$$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {C}{k!}{e}^{-2} = 1$$
步骤 3：求解常数C
由于${e}^{-2}$是常数，可以将其提出来，得到：
$$C{e}^{-2} \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {1}{k!} = 1$$
注意到$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {1}{k!}$是e的定义，即$e = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {1}{k!}$，因此：
$$C{e}^{-2} \cdot e = 1$$
化简得到：
$$C = e$$
离散型随机变量X的分布律为 $P\{ X=k\} =\dfrac {C}{k!}{e}^{-2}$，其中k=0,1,2,···。这里C是一个待定的常数，而${e}^{-2}$是一个已知的常数。
步骤 2：利用概率之和为1的性质
由于X是一个离散型随机变量，其所有可能取值的概率之和必须等于1。因此，我们有：
$$\sum_{k=0}^{\infty} P\{ X=k\} = 1$$
代入分布律，得到：
$$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {C}{k!}{e}^{-2} = 1$$
步骤 3：求解常数C
由于${e}^{-2}$是常数，可以将其提出来，得到：
$$C{e}^{-2} \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {1}{k!} = 1$$
注意到$\sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {1}{k!}$是e的定义，即$e = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac {1}{k!}$，因此：
$$C{e}^{-2} \cdot e = 1$$
化简得到：
$$C = e$$