0. 风随机雯重UND服从区间 (-1,1) 上的均匀分布,分别求(1)随机变量-|||-=(e)^x 的概率密度函数,(2)随机变量 =(X)^2 的概率密度函数。

考查要点：本题主要考查随机变量函数的概率密度求解方法，涉及均匀分布的变量经过非线性变换后的密度函数推导。

解题核心思路：

1. 分布函数法：通过求原变量的函数的分布函数，再对分布函数求导得到概率密度函数。
2. 变量变换法：利用概率密度函数的链式法则，结合原变量的密度函数和变换的导数进行计算。

破题关键点：

• 确定新变量的取值范围：根据原变量的定义域，分析新变量的可能取值区间。
• 分段讨论：根据新变量的取值范围，分段处理分布函数的表达式，特别注意边界情况。

第（1）题：求 $Y = e^X$ 的概率密度函数

确定 $Y$ 的取值范围

当 $X \in (-1, 1)$ 时，$Y = e^X$ 的取值范围为 $(e^{-1}, e)$，即 $(\frac{1}{e}, e)$。

求分布函数 $F_Y(y)$

$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(e^X \leq y) = P(X \leq \ln y)$
当 $y \in (\frac{1}{e}, e)$ 时：
$F_Y(y) = \int_{-1}^{\ln y} \frac{1}{2} dx = \frac{\ln y + 1}{2}$

求概率密度函数 $f_Y(y)$

对 $F_Y(y)$ 求导：
$f_Y(y) = \frac{d}{dy} F_Y(y) = \frac{1}{2y}$
综上：
$f_Y(y) = \begin{cases}\frac{1}{2y}, & \frac{1}{e} < y < e, \\0, & \text{其他情况}.\end{cases}$

第（2）题：求 $Z = X^{-2}$ 的概率密度函数

确定 $Z$ 的取值范围

当 $X \in (-1, 1)$ 且 $X \neq 0$ 时，$Z = \frac{1}{X^2}$ 的取值范围为 $[1, +\infty)$。

求分布函数 $F_Z(z)$

$F_Z(z) = P(Z \leq z) = P\left(\frac{1}{X^2} \leq z\right) = P\left(|X| \geq \frac{1}{\sqrt{z}}\right)$
当 $z \geq 1$ 时：
$F_Z(z) = \int_{-1}^{-\frac{1}{\sqrt{z}}} \frac{1}{2} dx + \int_{\frac{1}{\sqrt{z}}}^{1} \frac{1}{2} dx = 1 - \frac{1}{\sqrt{z}}$

求概率密度函数 $f_Z(z)$

对 $F_Z(z)$ 求导：
$f_Z(z) = \frac{d}{dz} \left(1 - \frac{1}{\sqrt{z}}\right) = \frac{1}{2z^{3/2}}$
综上：
$f_Z(z) = \begin{cases}\frac{1}{2z^{3/2}}, & z \geq 1, \\0, & \text{其他情况}.\end{cases}$